2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科） 含解析 (II).doc

2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科） 含解析 (II)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1已知全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x2+3x0，则 （UA）B等于（）Ax|3x0Bx|1x0Cx|x1Dx|1x02已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知命题p：xR，3x2x；命题q：xR，tanx=2，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）4已知Sn为等差数列an的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A6B7C8D95函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A1B2C3D46如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，点F在DC边上，则的最大值为（）A3B4C5D与F点的位置有关7函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度8函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1时，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）An（nZ）B2n（nZ）C2n或（nZ）Dn或（nZ）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9已知角的终边经过点（3a，4a）（a0），则sin=，tan（2）=10已知向量 =（，1），=（0，1），=（，k），若2 与 垂直，则 k=11曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为12已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为13已知函数，x0，那么下列命题中所有真命题的序号是f（x）的最大值是f（x）的最小值是f（x）在上是减函数 f（x）在上是减函数14我们可以利用数列an的递推公式an=（nN+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数则a24+a25=；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项三、解答题（本大题共6小题，满分80分）15已知函数（）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）求时函数f（x）的最大值和最小值16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=2，b=3，C=60，（）求边长c和ABC的面积；（）求sin2A的值17设函数（）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）在（1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0）处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0）处的切线平行，求实数x0的值；（2）若x（0，e，都有f（x）g（x），求实数a的取值范围19设数列an的前n项和为Sn已知a1=1，an+1=2Sn+1，nN*（1）写出a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=0，bnbn1=log3an（n2），求数列bn的通项公式；（3）记Tn为数列nan的前n项和，求Tn20设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）求证：（nN*）xx北京市通州区潞河中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1已知全集U=R，集合A=x|x+10，B=x|x2+3x0，则 （UA）B等于（）Ax|3x0Bx|1x0Cx|x1Dx|1x0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先化简集合A、B，求出UA，再计算UA）B【解答】解：全集U=R，集合A=x|x+10=x|x1，UA=x|x1，又B=x|x2+3x0=x|3x0， （UA）B=x|1x0故选：B2已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值【解答】解：若f（x）=x2+bsinx为偶函数，则f（x）=（x）2+bsin（x）=x2bsinx=f（x）=x2+bsinx，b=0故选：C3已知命题p：xR，3x2x；命题q：xR，tanx=2，则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】先判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题p：xR，3x2x是假命题，如x=0时：不成立；命题q：xR，tanx=2，是真命题，故pq是真命题，故选：C4已知Sn为等差数列an的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A6B7C8D9【考点】等差数列的性质【分析】由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4，根据等差数列的前n项和公式可得，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求【解答】解法一：等差数列an中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4根据等差数列的前n项和公式可得，所以 a1+a7=6可得d=2，a1=3所以a7=9解法二：S6=（）6=12a7=S7S6=9 故选D5函数的图象与函数g（x）=ln（x+2）的图象的交点个数是（）A1B2C3D4【考点】函数的图象【分析】作函数与g（x）=ln（x+2）的图象，从而利用数形结合求解【解答】解：作函数与g（x）=ln（x+2）的图象如下，故函数的图象有两个交点故选B6如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为BC的中点，点F在DC边上，则的最大值为（）A3B4C5D与F点的位置有关【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示，A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），E（1，1），F（x，2）（0x2）可得=（1，1），（x，2），再利用数量积运算性质、一次函数的单调性即可得出【解答】解：如图所示建立直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），E（1，1），F（x，2）（0x2）=（1，1），（x，2），=x+23的最大值为3故选：A7函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=则：=2当x=，f（）=sin（+）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可故选：A8函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1时，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）An（nZ）B2n（nZ）C2n或（nZ）Dn或（nZ）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象变化；偶函数【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或，又因为对任意的xR，都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x1，0，则x0，1，于是f（x）=（x）2=x2设x1，2，则（x2）1，0于是，f（x）=f（x2）=（x2）2当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点当2a0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间0，1）上相切，且与函数f（x）=（x2）2 在x1，2）上仅有一个交点时才满足条件由f（x）=2x=1，解得x=，y=，故其切点为，；由（1x2）解之得综上可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n，（nZ）故应选C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9已知角的终边经过点（3a，4a）（a0），则sin=，tan（2）=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】先求r，再利用三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，即可求得结论【解答】解：由题意，x=3a，y=4a，r=|5a|=5asin=，tan=tan（2）=tan2=故答案为：，10已知向量 =（，1），=（0，1），=（，k），若2 与 垂直，则 k=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由与垂直列式求得k值【解答】解：，=（），又，且与垂直，解得：k=1故答案为：111曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（）|01=曲边梯形的面积是 故答案为：12已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2【考点】基本不等式；对数的运算性质【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x0，y0；由基本不等式求出x+y的最小值【解答】解：log2x+log2y=1，log2（xy）=1，xy=2，其中x0，y0；x+y2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；x+y的最小值为故答案为：213已知函数，x0，那么下列命题中所有真命题的序号是f（x）的最大值是f（x）的最小值是f（x）在上是减函数 f（x）在上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先求导，再研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：f（x）=sinxx，x0，f（x）=cosx，令f（x）=0，解得x=，当f（x）0时，解得0x，函数单调递增，当f（x）0时，解得x，函数单调递减，当x=时，函数取的最大值，即f（x）的最大值是f（0）=sin00=0，f（）=sin=，函数的最小值为f（）=，故所有真命题的序号是，故答案为；14我们可以利用数列an的递推公式an=（nN+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数则a24+a25=28；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第640项【考点】数列递推式【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列即可求出第8个5在该数列中所占的位置【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3a24+a25=3+25=28又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列所以第8个5是该数列的第5281=640项故答案为：28，640三、解答题（本大题共6小题，满分80分）15已知函数（）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（）求时函数f（x）的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（1）化简得f（x）=sin（2x）+令+2k2x+2k，解出单调递减区间；（2）根据x的范围求出2x的范围，结合正弦函数的单调性求出最值【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+=sin2xcos2x+=sin（2x）+f（x）的最小正周期是T=令+2k2x+2k，解得+kx+k，f（x）的单调减区间是+k， +k，kZ（2），2x0，当2x=0 时，f（x）取得最小值，当2x= 时，f（x）取得最大值+116在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=2，b=3，C=60，（）求边长c和ABC的面积；（）求sin2A的值【考点】余弦定理【分析】（1）利用余弦定理即可得出c，进而得出面积；（2）利用正弦定理可得：sinA利用同角三角函数基本关系式即可得出cosA，再利用倍角公式即可得出【解答】解：（1）由余弦定理，c2=a2+b22abcos60=22+32223=7，解得c=，（2）由正弦定理，则sinA=，ab，A为锐角，则cosA=，sin2A=2sinAcosA=17设函数（）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若函数f（x）在（1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性【分析】（I）先求导函数，利用函数f（x）在x=3处取得极小值是，可得f（3）=0，从而可求a、b的值；（II）先求导函数，f（x）=x22（a+1）x+4a=（x2a）（x2），比较2a与2的大小，从而进行分类讨论，进而可确定函数的单调递增区间（）函数f（x）在（1，1）上有且只有一个极值点，等价于f（x）在（1，1）上有且只有一个解；由（II）及零点存在定理可得，从而可确定a的取值范围【解答】解：（I）f（x）=x22（a+1）x+4af（3）=96（a+1）+4a=0得 解得：b=4（II）f（x）=x22（a+1）x+4a=（x2a）（x2）令f（x）=0，即x=2a或x=2当a1时，2a2，f（x）0时，x2a或x2，即f（x）的单调递增区间为（，2）和（2a，+）当a=1时，f（x）=（x2）20，即f（x）的单调递增区间为（，+）当a1时，2a2，f（x）0时，x2a或x2，即f（x）的单调递增区间为（，2a）和（2，+）（）由题意可得：（2a1）（2a+1）0a的取值范围18已知函数f（x）=lnx，（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0）处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0）处的切线平行，求实数x0的值；（2）若x（0，e，都有f（x）g（x），求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）把a=1导入解析式，并求出f（x）和g（x），根据切线平行对应的斜率相等列出方程，求出x0的值；（2）根据条件设F（x）=f（x），再把条件进行转化，求出对应的解析式和导数，求出临界点，并根据导数与函数单调性的关系列出表格，再对a进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出对应的最小值，列出不等式求出a的范围【解答】解：（1）把a=1代入得，g（x）=+，则f（x）=，g（x）=，f（x）在点M （x0，f（x0）处的切线与g（x）在点P （x0，g（x0）处的切线平行，=，解得x0=1，x0=1，（2）由题意设F（x）=f（x）g（x）=lnx+，x（0，e，都有f（x）g（x），只要F（x）在（0，e上的最小值大于等于0即可，则F（x）=，由F（x）=0得，x=a，F（x）、F（x）随x的变化情况如下表：x（0，a）a（a，+）F（x）0+F（x）递减极大值递增当ae时，函数F（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，F（e）=1+0，得a，ae当ae时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+，得aae，综上所述，a19设数列an的前n项和为Sn已知a1=1，an+1=2Sn+1，nN*（1）写出a2，a3的值，并求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=0，bnbn1=log3an（n2），求数列bn的通项公式；（3）记Tn为数列nan的前n项和，求Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由数列的通项和前n项和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）bnbn1=log33n1=n1（n2），由数列的恒等式bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1），由等差数列的求和公式，计算即可得到所求；（3）nan=n3n1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和【解答】解：（1）an+1=2Sn+1，可得a2=2a1+1=3，a3=2（a1+a2）+1=2（1+3）+1=9，当n1时，an=2Sn1+1，相减可得an+1an=2（SnSn1）=2an，即an+1=3an，因为=3，则an+1=3an，所以an是以1为首项，3为公比的等比数列，则an=3n1；（2）数列bn满足b1=0，bnbn1=log3an（n2），即有bnbn1=log33n1=n1（n2），bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）=0+1+2+（n1）=；显然b1=0符合上式，所以bn=；（3）nan=n3n1，前n项和Tn=130+231+332+n3n1，3Tn=131+232+333+n3n，两式相减可得，2Tn=1+31+32+3n1n3n=n3n，化简可得，Tn=+20设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）求证：（nN*）【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）由已知得：k（x）=f（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式（）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立【解答】解：（）由已知得：k（x）=f（x）=ax2+bx+c由为偶函数，得为偶函数，显然有又k（1）=0，所以ab+c=0，即又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立显然，当时，不符合题意当时，应满足，注意到，解得 所以 （）证明：因为，所以要证不等式成立，即证因为，所以=所以成立xx年1月15日