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2.3.1离散型随机变量的均值学习目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题知识点一离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.思考1任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？答案X5,6,7.思考2X取上述值时，对应的概率分别是多少？答案P(X5)，P(X6)，P(X7).思考3如何求每个西瓜的平均重量？答案567.梳理(1)离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)均值的性质若YaXb，其中a，b为常数，X是随机变量，Y也是随机变量；E(aXb)aE(X)b.知识点二两点分布、二项分布的均值1两点分布：若X服从两点分布，则E(X)p.2二项分布：若XB(n，p)，则E(X)np.1随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化()2随机变量的均值与样本的平均值相同()3若随机变量X的均值E(X)2，则E(2X)4.()类型一离散型随机变量的均值例1袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算解X的所有可能取值为5,6,7,8.X5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X5)；X6时，表示取出2个红球2个白球，此时P(X6)；X7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X7)；X8时，表示取出4个红球，此时P(X8).所以X的分布列为X5678P所以E(X)5678.反思与感悟求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值(2)求出X取每个值的概率P(Xk)(3)写出X的分布列(4)利用均值的定义求E(X)跟踪训练1现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为()A1.18 B3.55C1.23 D2.38考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案A解析因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，P(X1.2)，P(X1.18)，P(X1.17)，所以X的分布列为X1.21.181.17P所以E(X)1.21.181.171.18.例2(1)设XB(40，p)，且E(X)16，则p等于()A0.1 B0.2C0.3 D0.4(2)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为_考点二项分布、两点分布的均值题点二项分布的均值答案(1)D(2)90解析(1)E(X)16，40p16，p0.4.故选D.(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则XB(20,0.9)，Y5X.由二项分布的均值公式得E(X)200.918.由随机变量均值的性质得E(Y)E(5X)51890.反思与感悟(1)常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则两点分布E(X)p；二项分布E(X)np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度(2)两点分布与二项分布辨析相同点：一次试验中要么发生要么不发生不同点：a随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2，n.b试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验跟踪训练2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值考点二项分布、两点分布的均值题点二项分布的均值解设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)设所求概率为P1，则P11(10.5)(10.6)0.8.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2.XB(100,0.2)，E(X)1000.220.X的均值是20.类型二离散型随机变量均值的性质例3已知随机变量X的分布列为：X21012Pm若Y2X，则E(Y)_.考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量的均值性质的应用答案解析由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，E(X)(2)(1)012.由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y)2.引申探究本例条件不变，若aX3，且E()，求a的值解E()E(aX3)aE(X)3a3，所以a15.反思与感悟若给出的随机变量与X的关系为aXb，a，b为常数一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E()也可以利用X的分布列得到的分布列，关键由X的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E()跟踪训练3已知随机变量和，其中127，且E()34，若的分布列如下表，则m的值为()1234PmnA. B. C. D.考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量的均值性质的应用答案A解析因为127，则E()12E()7，即E()12734.所以2m3n，又mn1，所以mn，由可解得m.1已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的均值E(X)等于()A. B2C. D3考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案A解析E(X)123.2抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值为()A0 B. C1 D1考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案A解析因为P(X1)，P(X1)，所以由均值的定义得E(X)1(1)0.3若p为非负实数，随机变量的分布列为012Ppp则E()的最大值为()A1 B. C. D2考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案B解析由p0，p0，得0p，则E()p1.故选B.4若随机变量B(n,0.6)，且E()3，则P(1)的值是()A20.44 B20.45C30.44 D30.64考点二项分布、两点分布的均值题点二项分布的均值答案C解析因为B(n,0.6)，所以E()n0.6，故有0.6n3，解得n5.则P(1)C0.60.4430.44.5袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n1,2,3,4)个现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值；(2)若a4，E()1，求a的值考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量均值与其他知识点的综合解(1)的分布列为01234P的均值E()01234.(2)E()aE()41，又E()，则a41，a2.1求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值2若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值一、选择题1设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为()A20 B10 C5 D15考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案B解析废品率为，所以E(X)15010.2随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的均值是()A0.6 B1 C3.5 D2考点题点答案C解析抛掷骰子所得点数的分布列为123456PE()1234563.5.3离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(Xk)akb(k1,2,3,4)，E(X)3，则ab等于()A10 B5C. D.考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量的均值性质的应用答案D解析易知E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3.又(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，由，得a，b0.4设的分布列为1234P又设25，则E()等于()A. B. C. D.考点离散型随机变量的均值的性质题点离散型随机变量的均值性质的应用答案D解析E()1234，E()E(25)2E()525.5一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是()A. B.C. D.考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案A解析由题意得，P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)012，故A正确6同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()A20 B30 C25 D40考点离散型随机变量均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案C解析抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为，所以XB，故E(X)8025.7今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于()A0.765 B1.75C1.765 D0.22考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案B解析P(X0)(10.9)(10.85)0.10.150.015，P(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22，P(X2)0.90.850.765.E(X)00.01510.2220.7651.75.8在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有()A1人 B2人C3人 D4人考点二项分布、两点分布的均值题点二项分布的均值答案C解析5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为106,106,106,10E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大
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