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3.2.2 函数的和、差、积、商的导数基础达标1已知f(x)x33xln 3，则f(x)_.解析：f(x)(x3)(3x)(ln 3)3x23xln 303x23xln 3.答案：3x23xln 32设y2exsin x，则y_.解析：y2(ex)sin xex(sin x)2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)答案：2ex(sin xcos x)3已知f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是_解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a.答案：4.已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，且f(1)0，则a_.,解析：f(x)(x24)(xa),x3ax24x4a，,f(x)3x22ax4.,又f(1)32a40，a.答案：5.函数y的导数是_解析：y.答案：6.设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_.解析：y1，y.曲线在点(3,2)处的切线斜率k.a2，即a2.答案：27求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x1)；(2)y(2)2；(3)yxsincos；(4)y；(5)y2xcos x3xlog2 014x；(6)y.解：(1)法一：y(2x23)(3x1)(2x23)(3x1)4x(3x1)3(2x23)18x24x9.法二：y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.(2)y(2)2x44，yx(4)414x12x.(3)yxsincosxsin x，yx(sin x)1cos x.(4)y.(5)y(2x)cos x(cos x)2x3xlog2 014x(log2 014x)x2xln 2cos xsin x2x3log2 014x(log2 014e)x2xln 2cos x2xsin x3log2 014x3log2 104e.(6)ycos xsin x，ysin xcos x.8求过点(1，1)的曲线yx32x的切线方程解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为kf(x0)3x2，故切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)，又知切线过点(1，1)，代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0，故所求的切线方程为y1x1或y(x)，即xy20或5x4y10.能力提升1若函数f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.解析：f(x)x3f(1)x2x5，f(x)x22f(1)x1，将x1代入上式得f(1)12f(1)1，f(1)2，再令x1，得f(1)6.答案：62设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_解析：依题意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.答案：43点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解：根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.4设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由，得解之得.故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.
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