2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制学案 北师大版必修4.doc

3弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？答案周角的等于1度.思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？答案在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，用符号rad表示.思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关.梳理(1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角所对的弧长，则角的弧度数的绝对值满足|.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案 利用1 rad和1 rad进行弧度与角度的换算.梳理(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017 45 rad1 rad57.305718(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度02知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角的弧度数，则Slr，lr.梳理为度数为弧度数扇形的弧长llr扇形的面积SSlrr21.1 rad的角和1的角大小相等.()提示1 rad的角和1的角大小不相等，1 rad.2.用弧度来表示的角都是正角.()提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化.(1)20；(2)15；(3)；(4).考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)20.(2)15.(3)180105.(4)180396.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.跟踪训练1(1)把11230化成弧度；(2)把化成度.考点弧度制题点角度与弧度的互化解(1)11230.(2)75.类型二用弧度制表示终边相同的角例2把下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出是第几象限角.(1)1 500；(2)；(3)4.考点弧度制的应用题点弧度制的应用解(1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角.(2)2，与终边相同，是第四象限角.(3)42(24)，24.4与24终边相同，是第二象限角.反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时，其中2k是的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0，720内找出与角终边相同的角.考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角解(1)1 4801 480，而10，且02，.1 4802(5).(2)72，终边与角的终边相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.在0，720内与角终边相同的角为72，432.类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1)若扇形的中心角为120，半径为，则此扇形的面积为()A. B. C. D.(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A.2 B. C.2sin 1 D.考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用答案(1)A(2)D解析(1)扇形的中心角为120，半径为，所以S扇形|r2()2.(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2.反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slr|r2，二是l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.求解时应注意先把度化为弧度，再计算.跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用解设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，得1(42R)R，R1，l2，2，即扇形的圆心角为2 rad.1.下列说法中，错误的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1的角是周角的，1 rad的角是周角的C.1 rad的角比1的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点弧度制题点对弧度制概念的理解答案D解析根据1度、1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2.时针经过一小时，转过了()A. rad B. radC. rad D. rad考点弧度制题点角度与弧度的互化答案B解析时针经过一小时，转过30，又30 rad，故选B.3.若5，则角的终边在()A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案D解析25与5的终边相同，25，25是第一象限角，则5也是第一象限角.4.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形圆心角的弧度数是()A.1 B.4C.1或4 D.2或4考点扇形的弧长及面积题点扇形的弧长及面积公式的应用答案C解析设扇形半径为r，圆心角的弧度数为，则由题意得或5.已知扇形AOB的圆心角为，半径长R为6，求：(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解(1)lR64，所以弧AB的长为4.(2)S扇形OABlR4612.如图所示，过点O作ODAB，交AB于点D，120，所以AOD60，DAO30，于是有SOABABOD26cos 306sin 309.所以弓形的面积为S扇形OABSOAB129.1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式.易知：度数 rad弧度数，弧度数度数.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、选择题1.下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A.2k45(kZ)B.k360(kZ)C.k360315(kZ)D.k(kZ)考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案C解析A，B中弧度与角度混用，不正确.2，所以与的终边相同.31536045，所以315也与45的终边相同.故选C.2.下列转化结果错误的是()A.60化成弧度是B.化成度是600C.150化成弧度是D.化成度是15考点弧度制题点角度与弧度的互化答案C解析C项中150150.3.设角2弧度，则所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限考点弧度制的应用题点角所在象限的判断答案C解析2，2222，即22，22为第三象限角，为第三象限角.4.把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()A. B.2 C. D.考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案A解析22(1)，.5.若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为()A.13 B.23 C.43 D.49考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用答案B解析设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切圆r2，S扇形R29r2r2.S内切圆S扇形23.6.已知一段圆弧的长度等于其所在圆的内接正方形的边长，则这段圆弧对应的圆心角的弧度数为()A. B.C. D.考点弧度制题点弧度制的综合应用答案C解析设圆内接正方形的边长为a，则该圆的半径为a，所以圆心角，故选C.二、填空题7.(2017陕西榆林一中月考)圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 .考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式答案2解析设圆的半径为r，其外切正三角形的边长为a，则raa，又弧长为a，所以圆心角为2.8.已知集合Ax|2kx2k，kZ，集合Bx|4x4，则AB .考点弧度制的应用题点弧度制与集合的综合答案4，0，解析如图所示，AB4，0，.9.若24，且与角的终边垂直，则 .考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角答案或解析2k2k，kZ，24，k2，；或者2k2k，kZ，24，k2，.综上，或.10.如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为 .考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用答案解析如图，作BFAC.已知AC2，ABC，则AF，ABF.AB2，即扇形的半径R2.弧长l|R，SlR.三、解答题11.已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是30，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓.60，R10 cm，lR (cm).S弓S扇S10210sin 10cos 50 (cm2).(2)l2R30，l302R，从而SlR(302R)RR215R2.当半径R cm时，l30215(cm)，扇形面积的最大值是 cm2，这时2(rad).当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.12.已知角1 200.(1)将改写成2k(kZ，02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间4，上找出与终边相同的角.考点弧度制的应用题点用弧度制表示终边相同的角解(1)1 2001 20032，又，角与的终边相同，且角是第二象限的角.(2)与角终边相同的角(含角在内)为2k，kZ，由42k，得k.kZ，k2或k1或k0.故在区间4，上与角终边相同的角是，.13.如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路程及走过的弧所对扇形的总面积.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长与面积公式的综合应用解AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即21(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是2(dm2).四、探究与拓展14.九章算术是我国古代数学的杰出代表作.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A.6 m2 B.9 m2 C.12 m2 D.15 m2考点扇形的弧长与面积题点扇形的弧长与面积公式的应用答案B解析根据题设，弦24sin4(m)，矢422(m)，故弧田面积(弦矢矢2)(4222)429(m2).15.已知1570，2750，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在720，180内找出与它们终边相同的所有角.考点弧度制综合题点弧度制综合解(1)157022，275022.故1，2，1的终边在第二象限，2的终边在第一象限.(2)1180108，218060.设1108k1360(k1Z)，260k2360(k2Z)，则由7201180(kZ)，7202180(kZ)，即720108k1360180(k1Z)，72060k2360180(k2Z)，得k12，1，k21.故在720，180内，与1终边相同的角是612和252，与2终边相同的角是420.