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第五章四边形5.1多边形与平行四边形学用P55过关演练(40分钟80分)1.(xx呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1080,则这个多边形是(B)A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形【解析】根据n边形的内角和公式,得(n-2)180=1080,解得n=8.这个多边形的边数是8.2.若一个正n边形的每个内角为144,则这个正n边形的所有对角线的条数是(A)A.35B.20C.10D.7【解析】一个正n边形的每个内角为144,144n=180(n-2),解得n=10.这个正n边形的所有对角线的条数是n(n-3)2=10(10-3)2=35.3.如图,在四边形ABCD中,ABCD,要使四边形ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是(B)A.AB=CDB.BC=ADC.A=CD.BCAD【解析】添加A具备“一组对边平行且相等”的条件,能推断为平行四边形,A正确;添加B不能推断为平行四边形,B错误;ABCD,A+D=180,又A=C,C+D=180,ADBC,四边形ABCD是平行四边形,C正确;添加D,可得四边形ABCD是平行四边形,D正确.4.(xx浙江宁波)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE.若ABC=60,BAC=80,则1的度数为(B)A.50B.40C.30D.20【解析】ABC=60,BAC=80,BCA=180-60-80=40,对角线AC与BD相交于点O,E是CD的中点,EO是DBC的中位线,EOBC,1=ACB=40.5.如图,在ABCD中,DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE.下列结论错误的是(D)A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE【解析】AHCG,H=HBG,HBG=HBA,H=HBA,AH=AB,同理AB=BG,AD=DE,BC=CF,AD=BC,DH=CG,DE=CF,DF=CE,故B,C正确;AH=AB,AO平分HAB,BO=HO,故A正确;观察知D项错误.6.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上的一点,且BC=EC,CFBE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:BE平分CBF;CF平分DCB;BC=FB;PF=PC.其中正确的个数为(D)A.1B.2C.3D.4【解析】ABCD,ABE=BEC.BC=EC,CBE=BEC,CBE=ABE,即BE平分ABC,故正确;BC=EC,CFBE,CF平分DCB,故正确;ABCD,DCF=CFB,DCF=FCB,CFB=FCB,BC=BF,故正确;BC=BF,CFBE,BE垂直平分CF,PF=PC,故正确.7.正六边形的每个内角等于120.【解析】多边形的外角和为360,正六边形的每一个外角为60,正六边形的每个内角为180-60=120.8.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是.【解析】只有两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,所以带两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.9.如图,在ABCD中,按以下步骤作图:以点A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;分别以点M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则ABCD的周长为15.【解析】由作图知,AQ是BAD的平分线,DAQ=BAQ,在ABCD中,ABCD,DQA=BAQ,DQA=DAQ,DA=DQ.DQ=2QC,BC=3,DQ=3,QC=32,CD=92,ABCD的周长为2(BC+CD)=23+92=15.10.如图,在ABCD中,过对角线BD上一点P作EFBC,GHAB,且CG=2BG,SBPG=1,则SAEPH=4.【解析】EFBC,GHAB,四边形HPFD,BEPG是平行四边形,SBPG=SBPE=1,SDPH=SDPF,同理SABD=SCBD,SAEPH=SCFPG.SBEPG=2,CG=2BG,SCFPG=2SBEPG=4,SAEPH=4.11.如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点.有下列结论:AD=BC;DHGBFE;BF=HO;AO=BO;四边形HEFG是平行四边形.其中正确结论的序号是.【解析】在ABCD中,AD=BC,故正确;四边形ABCD是平行四边形,DCAB,DC=AB,OD=OB,CDB=DBA,E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点,DG=BE=12AB,DH=BF=12OD,DHGBFE,故正确;HO=DH,DH=BF,BF=HO,故正确;四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,故错误;E,F,G,H分别是AB,OB,CD,OD的中点,HGOC,HG=12OC,EFOA,EF=12OA,HGEF,HG=EF,四边形HEFG是平行四边形,故正确.12.(9分)(1)如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:(画出图形,把截去的部分打上阴影)新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180;新多边形的内角和与原多边形的内角和相等;新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180.(2)将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为2520,求原多边形的边数.解:(1)如图所示.(2)设新多边形的边数为n,则(n-2)180=2520,解得n=16,若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为15;若截去一个角后边数不变,则原多边形边数为16;若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为17.故原多边形的边数可以为15,16或17.13.(10分)(xx辽宁大连)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OD=OB,AF=CE,OE=OF,在BEO和DFO中,OB=OD,BOE=DOF,OE=OF,BEODFO,BE=DF.14.(12分)如图,点O是ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)如果OBC=45,OCB=30,OC=4,求EF的长.解:(1)AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,DGBC,DG=12BC,EFBC,EF=12BC,DGEF,DG=EF,四边形DEFG是平行四边形.(2)过点O作OMBC于点M,在RtOCM中,OCM=30,OC=4,OM=12OC=2,CM=23,在RtOBM中,OBM=BOM=45,BM=OM=2,BC=2+23,EF=1+3.名师预测1.若一个多边形的内角和是其外角和的5倍,则这个多边形的边数是(A)A.12B.10C.8D.6【解析】设多边形的边数为n,根据题意得(n-2)180=5360,解得n=12,则这个多边形的边数是12.2.如图,点E,F是ABCD对角线上两点,在条件DE=BF;ADE=CBF;AF=CE;AEB=CFD中,添加一个条件,使四边形DEBF是平行四边形,则可添加的条件是(D)A.B.C.D.【解析】由平行四边形的判定方法可知:若是四边形的对角线互相平分,可证明这个四边形是平行四边形.不能证明对角线互相平分,只有可以.3.如图,在ABCD中,ABC和BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是(A)A.52B.3C.4D.5【解析】ABCD,ABC+BCD=180,BE平分ABC,CE平分BCD,EBC=12ABC,ECB=12BCD,EBC+ECB=90,BEC=90,BC=BE2+CE2=42+32=5,AD=BC=5,ADBC,EBC=AEB,BE平分ABC,ABE=EBC,ABE=AEB,AB=AE.同理DC=DE.AB=CD,AB=12AD=52.4.如图,在ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O.过点O作OEAC,交AD于点E.连接CE,则CDE的周长为8.【解析】四边形ABCD为平行四边形,AO=CO,AD=BC,CD=AB.又OEAC,CE=AE,CDE的周长为CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8.5.如图,在四边形ABCD中,ADBC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一点,且BM=9 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t=34 s或32 s.【解析】当点F在线段BM上,AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=9+3t-12,解得t=32;当点F在线段CM上,AE=FM时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=12-9-3t,解得t=34.综上所述,t=34 s或32 s时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.6.如图,在RtABC中,B=90,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有ADCE中,DE最小的值是3.【解析】在RtABC中,B=90,BCAB.四边形ADCE是平行四边形,OD=OE,OA=OC.当OD取最小值时,DE线段最短,此时ODBC.ODAB.又点O是AC的中点,OD是ABC的中位线,OD=12AB=1.5,DE=2OD=3.7.如图,在ABCD中,AE=CF,M,N分别是DE,BF的中点.求证:四边形MFNE是平行四边形.证明:四边形ABCD是平行四边形,AD=CB,DAE=FCB.又AE=CF,DAEBCF,DE=BF,AED=CFB.又M,N分别是DE,BF的中点,ME=NF.又由ABDC,得AED=EDC.EDC=BFC,MENF.四边形MFNE是平行四边形.8.如图,在平行四边形ABCD中,B=AFE,EA是BEF的平分线.求证:(1)ABEAFE;(2)FAD=CDE.证明:(1)在ABE与AFE中,B=AFE,AEB=AEF,AE=AE,ABEAFE(AAS).(2)在ABCD中,ADBC,ADF=DEC.ABCD,C=180-B.又AFD=180-AFE,B=AFE,AFD=C.在ADF与DEC中,由三角形内角和定理,得FAD=180-ADF-AFD,CDE=180-DEC-C,FAD=CDE.9.如图,在ABCD中,ABC,BCD的平分线BE,CF分别与AD相交于点E,F,BE与CF相交于点G.(1)求证:BECF;(2)若AB=3,BC=5,CF=2,求BE的长.解:(1)BE平分ABC,CF平分BCD,CBE=12ABC,BCF=12BCD.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABC+BCD=180,CBE+BCF=12(ABC+BCD)=90,CGB=180-(CBE+BCF)=90,BECF.(2)过点E作EPFC,交BC的延长线于点P,则四边形CPEF是平行四边形.BE平分ABC,ABE=CBE.在ABCD中,ADBC,AEB=CBE,AEB=ABE,AE=AB=3.同理DF=DC=3,EF=AE+DF-AD=1.CP=EF=1,EP=CF=2.又由(1)知BECF,BEEP,在RtBPE中,BE2+EP2=BP2,即BE2+22=62,解得BE=42.
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