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第一章 计数原理学习目标1.归纳整理本章的知识要点.2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题1分类计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步计数原理完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N_种不同的方法3排列数与组合数公式及性质排列与排列数组合与组合数公式排列数公式An(n1)(n2)_组合数公式C_性质当mn时，A为全排列；An！；0！_CC1；C_；CC_备注n，mN*，且mn4.二项式定理(1)二项式定理的内容：(ab)n_.(2)通项公式：Tk1Cankbk，k0,1,2，n(3)二项式系数的性质：与首末两端等距离的两个二项式系数相等；若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大CCCC2n；CCCC2n1.类型一数学思想方法在求解计数问题中的应用例1车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？反思与感悟解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复)(2)总数要完备(保证不遗漏)跟踪训练1从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_个(用数字作答)例2设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3满足a1a26包含的情况较少，当a39时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决集合S的含有三个元素的子集的个数为C84.在这些含有三个元素的子集中能满足a1a26的集合只有1,2,9，故满足题意的集合A的个数为84183.跟踪训练230解析从4人中选出两个人作为一个元素有C种方法，同其他两个元素在三个位置上排列有CA36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛有A种结果，不同的参赛方案共有36630(种)例3解(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A24(种)方法根据分步计数原理，一共有5 04024120 960(种)安排顺序(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有A720(种)方法第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“”选4个来排，一共有A840(种)方法根据分步计数原理，一共有720840 604 800(种)安排顺序(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A132(种)排列跟踪训练3130解析由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M0，N1,1当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C22种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C2种方法故总共有C23C22C2130(种)方法，即满足题意的元素个数为130.例4解(1)由C(2)4C(2)2563，解得n10，因为通项Tr1C()10rr(2)rC，r0,1,2，10.当5为整数时，r可取0,6，于是有理项为T1x5和T713 440.(2)设第r1项系数的绝对值最大，则解得又因为r1,2,3，9，所以r7，当r7时，T815 360，又因为当r0时，T1x5，当r10时，T11(2)101 024，所以系数的绝对值最大的项为T815 360.(3)原式109C81C9101C.跟踪训练4解(1)令x1，得二项式n展开式中各项系数之和为(51)n4n，各项二项式系数之和为2n，由题意，得4n162n，所以2n16，n4.(2)通项Tr1C(5x)4rr(1)rC54r展开式中二项式系数最大的项是第3项T3(1)2C52x150x.(3)由(2)，得4rZ(r0,1,2,3,4)，即r0,2,4，所以展开式中所有x的有理项为T1(1)0C54x4625x4，T3(1)2C52x150x，T5(1)4C50x2x2.例5解(1)(x23x2)5(x1)5(x2)5，a2是展开式中x2的系数，a2C(1)5C(2)3C(1)4C(2)4C(1)3C(2)5800.(2)令x1，代入已知式，可得a0a1a2a100，而令x0，得a032，a1a2a1032.(3)令x1，可得(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)65，再由(a0a2a4a10)(a1a3a7a9)0，把这两个等式相乘可得，(a0a2a4a10)2(a1a3a7a9)26500.跟踪训练55解析令x2，得a0(221)(23)95，令x3，则a0a1a2a3a11(321)(33)90，所以a1a2a3a11a05.当堂训练1602.23.2164.3645.300
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