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2.3.1抛物线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法求抛物线的标准方程3,8抛物线的焦点与准线2抛物线定义及其应用1,4,5,6抛物线的实际应用7综合应用9,10,11,12,13【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为(D)(A)直线(B)椭圆(C)线段(D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为(B)(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是(D)(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为(B)(A)2(B)4(C)8(D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是(D)(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y(D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A)(A)(B)3(C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|AF|=.故选A.7. (2018贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于(C)(A)(B)(C)3(D)2解析:过点Q作QQl交l于点Q,因为=4,所以|PQ|PF|=34,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ|=3.故选C.10.(2017衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为(D)(A)12(B)24(C)16(D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+3232,综上可知,+32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AHl,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=86=48,所以|y0|=4,所以S=|AF|y0|=44=8.【探究创新】13.(2018沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a0,b0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0a1,且AFB=90并被x轴平分,所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2=c2-a2,即c2=+a2=,所以e2=1+,因为0a5,故e.答案:(,+)
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