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反比例函数一.选择题1. （xx湖南郴州3分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则OAB的面积是（）A4B3C2D1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）再过A，B两点分别作ACx轴于C，BDx轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出SAOC=SBOD=4=2根据S四边形AODB=SAOB+SBOD=SAOC+S梯形ABDC，得出SAOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）CD=（1+2）2=3，从而得出SAOB=3【解答】解：A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1）如图，过A，B两点分别作ACx轴于C，BDx轴于D，则SAOC=SBOD=4=2S四边形AODB=SAOB+SBOD=SAOC+S梯形ABDC，SAOB=S梯形ABDC，S梯形ABDC=（BD+AC）CD=（1+2）2=3，SAOB=3故选：B【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积2. （xx湖南怀化4分）函数y=kx3与y=（k0）在同一坐标系内的图象可能是（）ABCD【分析】根据当k0、当k0时，y=kx3和y=（k0）经过的象限，二者一致的即为正确答案【解答】解：当k0时，y=kx3过一、三、四象限，反比例函数y=过一、三象限，当k0时，y=kx3过二、三、四象限，反比例函数y=过二、四象限，B正确；故选：B【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限3.（xx江苏徐州2分）如果点（3，4）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A（3，4）B（2，6）C（2，6）D（3，4）【分析】将（3，4）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可【解答】解：因为点（3，4）在反比例函数y=的图象上，k=3（4）=12；符合此条件的只有C：k=26=12故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上4.（xx江苏无锡3分）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a0b，则下列结论一定正确的是（）Am+n0Bm+n0CmnDmn【分析】根据反比例函数的性质，可得答案【解答】解：y=的k=20，图象位于二四象限，a0，P（a，m）在第二象限，m0；b0，Q（b，n）在第四象限，n0n0m，即mn，故D正确；故选：D【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k0时，图象位于二四象限是解题关键5.（xx江苏淮安3分）若点A（2，3）在反比例函数y=的图象上，则k的值是（）A6B2C2D6【分析】根据待定系数法，可得答案【解答】解：将A（2，3）代入反比例函数y=，得k=23=6，故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键6.（xx江苏苏州3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E若AB=4，CE=2BE，tanAOD=，则k的值为（）A3B2C6D12【分析】由tanAOD=可设AD=3A.OA=4a，在表示出点D.E的坐标，由反比例函数经过点D.E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案【解答】解：tanAOD=，设AD=3A.OA=4a，则BC=AD=3a，点D坐标为（4a，3a），CE=2BE，BE=BC=a，AB=4，点E（4+4a，a），反比例函数y=经过点D.E，k=12a2=（4+4a）a，解得：a=或a=0（舍），则k=12=3，故选：A【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D.E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k8.（xx内蒙古包头市3分）以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BEAC，垂足为E若双曲线y=（x0）经过点D，则OBBE的值为3【分析】由双曲线y=（x0）经过点D知SODF=k=，由矩形性质知SAOB=2SODF=，据此可得OABE=3，根据OA=OB可得答案【解答】解：如图，双曲线y=（x0）经过点D，SODF=k=，则SAOB=2SODF=，即OABE=，OABE=3，四边形ABCD是矩形，OA=OB，OBBE=3，故答案为：3【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质9.（xx遂宁4分）已知一次函数y1=kx+b（k0）与反比例函数y2=（m0）的图象如图所示，则当y1y2时，自变量x满足的条件是（）A1x3B1x3Cx1Dx3【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：当1x3时，y1y2故选：A【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点10.（xx湖州3分）如图，已知直线y=k1x（k10）与反比例函数y=（k20）的图象交于M，N两点若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（）A. （1，2） B. （1，2） C. （1，2） D. （2，1）【答案】A【解析】分析：直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案详解：直线y=k1x（k10）与反比例函数y=（k20）的图象交于M，N两点，M，N两点关于原点对称，点M的坐标是（1，2），点N的坐标是（-1，-2）故选：A点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出M，N两点位置关系是解题关键11. （xx嘉兴3分）如图,点在反比例函数的图象上,过点的直线与轴,轴分别交于点,且,的面积为1.则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】过点C作轴，设点 ，则 得到点C的坐标，根据的面积为1，得到的关系式，即可求出的值.【解答】过点C作轴，设点 ，则 得到点C的坐标为： 的面积为1，即 故选D.【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.12. （xx广西玉林3分）如图，点A，B在双曲线y=（x0）上，点C在双曲线y=（x0）上，若ACy轴，BCx轴，且AC=BC，则AB等于（）AB2C4D3【分析】依据点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC=BC，即可得到=3aa，进而得出a=1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC=BC=2，进而得到RtABC中，AB=2【解答】解：点C在双曲线y=上，ACy轴，BCx轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），AC=BC，=3aa，解得a=1，（负值已舍去）C（1，1），B（3，1），A（1，3），AC=BC=2，RtABC中，AB=2，故选：B13. （xx黑龙江大庆3分）在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx3的图象大致是（）ABCD【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k0，所以分k0和k0两种情况讨论当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案【解答】解：分两种情况讨论：当k0时，y=kx3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当k0时，y=kx3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限故选：B14. （xx黑龙江哈尔滨3分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（）A1B0C1D2【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可【解答】解：反比例函数y=的图象经过点（1，1），代入得：2k3=11，解得：k=2，故选：D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是解此题的关键15.（xx黑龙江龙东地区3分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x0）、y=（x0）的图象于B.C两点，若ABC的面积为2，则k值为（）A1B1CD【分析】连接OC.OB，如图，由于BCx轴，根据三角形面积公式得到SACB=SOCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到|3|+|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值【解答】解：连接OC.OB，如图，BCx轴，SACB=SOCB，而SOCB=|3|+|k|，|3|+|k|=2，而k0，k=1故选：A【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变16.（xx贵州铜仁4分）如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b的解集为（）Ax2或0x1Bx2C0x1D2x0或x1【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集【解答】解：观察函数图象，发现：当2x0或x1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，不等式ax+b的解集是2x0或x1故选：D17.（xx海南3分）已知反比例函数y=的图象经过点P（1，2），则这个函数的图象位于（）A二、三象限B一、三象限C三、四象限D二、四象限【分析】先根据点P的坐标求出反比例函数的比例系数k，再由反比例函数的性质即可得出结果【解答】解：反比例函数y=的图象经过点P（1，2），2=k=20；函数的图象位于第二、四象限故选：D【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：、当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时，图象分别位于第二、四象限、当k0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一个象限，y随x的增大而增大18.（xx贵州遵义3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，OAB=30，若点A在反比例函数y=（x0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）Ay=By=Cy=Dy=【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=，进而得出SAOD=2，即可得出答案【解答】解：过点B作BCx轴于点C，过点A作ADx轴于点D，BOA=90，BOC+AOD=90，AOD+OAD=90，BOC=OAD，又BCO=ADO=90，BCOODA，=tan30=，=，ADDO=xy=3，SBCO=BCCO=SAOD=1，SAOD=2，经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=故选：C19. （xx遂宁4分）已知一次函数y1=kx+b（k0）与反比例函数y2=（m0）的图象如图所示，则当y1y2时，自变量x满足的条件是（）A1x3B1x3Cx1Dx3【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：当1x3时，y1y2故选：A【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点二.填空题1. （xx湖北随州3分）如图，一次函数y=x2的图象与反比例函数y=（k0）的图象相交于A.B两点，与x轴交与点C，若tanAOC=，则k的值为3【分析】根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x2的图象与反比例函数y=（k0）的图象相交于A.B两点，可以求得a的值，进而求得k的值，本题得以解决【解答】解：设点A的坐标为（3a，a），一次函数y=x2的图象与反比例函数y=（k0）的图象相交于A.B两点，a=3a2，得a=1，1=，得k=3，故答案为：3【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答2.（xx江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x0）与正比例函数y=kx、 （k1）的图象分别交于点A.B，若AOB45，则AOB的面积是_.【答案】2【分析】作BDx轴，ACy轴，OHAB（如图），设A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得ACOBDO，由全等三角形性质得AO=BO，AOC=BOD，由垂直定义和已知条件得AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，根据AAS得ACOBDOAHOBHO，根据三角形面积公式得SABO=SAHO+SBHO=SACO+SBDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2.【详解】如图：作BDx轴，ACy轴，OHAB，设A（x1，y1），B（x2 ， y2），A.B在反比例函数上，x1y1=x2y2=2，解得：x1=，又，解得：x2=，x1x2=2，y1=x2， y2=x1，即OC=OD，AC=BD，BDx轴，ACy轴，ACO=BDO=90，ACOBDO（SAS），AO=BO，AOC=BOD，又AOB45，OHAB，AOC=BOD=AOH=BOH=22.5，ACOBDOAHOBHO，SABO=SAHO+SBHO=SACO+SBDO=x1y1+ x2y2= 2+ 2=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.3.（xx山东东营市3分）如图，B（3，3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为y=【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可【解答】解：设A坐标为（x，y），B（3，3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，x+5=0+3，y+0=03，解得：x=2，y=3，即A（2，3），设过点A的反比例解析式为y=，把A（2，3）代入得：k=6，则过点A的反比例解析式为y=，故答案为：y=【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键4.（xx山东烟台市3分）如图，反比例函数y=的图象经过ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BDDC，ABCD的面积为6，则k=3【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可【解答】解：过点P做PEy轴于点E四边形ABCD为平行四边形AB=CD又BDx轴ABDO为矩形AB=DOS矩形ABDO=SABCD=6P为对角线交点，PEy轴四边形PDOE为矩形面积为3即DOEO=3设P点坐标为（x，y）k=xy=3故答案为：3【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质5.（xx山东济宁市3分）如图，点 A 是反比例函数 y=（x0）图象上一点，直线 y=kx+b过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C，过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，连接DC，若BOC 的面积是 4，则DOC 的面积是2 2【解答】解：设 A（a，）（a0），AD=，OD=a，直线 y=kx+b 过点 A 并且与两坐标轴分别交于点 B，C，C（0，b），B（，0），BOC 的面积是 4，SBOC=OBOC=b=4，b2=8k，k=ADx 轴，OCAD，BOCBDA，a2k+ab=4， 联立得，ab=44（舍）或 ab=44，SDOC=ODOC=ab=2 2故答案为 226. （xx上海4分）已知反比例函数y=（k是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k10，求出k的取值范围即可【解答】解：反比例函数y=的图象有一支在第二象限，k10，解得k1故答案为：k1【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键7. （xx遂宁4分）已知反比例函数y=（k0）的图象过点（1，2），则当x0时，y随x的增大而 【分析】把（1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函数的性质解答即可【解答】解：把（1，2）代入解析式y=，可得：k=2，因为k=20，所以当x0时，y随x的增大而增大，故答案为：增大【点评】此题考查了反比例函数y=（k0），的性质：当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时，图象分别位于第二、四象限当k0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一个象限，y随x的增大而增大8. （xx贵州安顺4分） 函数中自变量的取值范围是_【答案】【解析】试题解析：根据题意得，x+10，解得x-1故答案为：x-19. （xx贵州安顺4分） 如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论：；不等式的解集是或.其中正确结论的序号是_【答案】【解析】分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k20，故错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得到-2m=n故正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到SAOP=SBOQ；故正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x-2或0x1，故正确详解：由图象知，k10，k20，k1k20，故错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得-2m=n，m+n=0，故正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，,-2m=n，y=-mx-m，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，P（-1，0），Q（0，-m），OP=1，OQ=m，SAOP=m，SBOQ=m，SAOP=SBOQ；故正确；由图象知不等式k1x+b的解集是x-2或0x1，故正确；故答案为：点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键10. （xx广西南宁3分）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x0）的图象经过点C，反比例函数y=（x0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若SBEF=7，k1+3k2=0，则k1等于9【分析】设出点A坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示BEF的面积，构造方程【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（a，0）由图象可知，点C（a，），E（a，），D（a，），F（，）矩形ABCD面积为：2a=2k1SDEF=SBCF=SABE=SBEF=72k1+k1=7 k1+3k2=0k2=k1代入式得解得k1=9故答案为：9【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程11. （xx黑龙江齐齐哈尔3分）已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则k的值可以是1（写出满足条件的一个k的值即可）【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则可知2k0，解得k的取值范围，写出一个符合题意的k即可【解答】解：由题意得，反比例函数y=的图象在第一、三象限内，则2k0，故k2，满足条件的k可以为1，故答案为：1【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大12.（xx福建A卷4分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则ABC面积的最小值为6【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，整理得x2+mx3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以A.b是方程x2+mx3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=m，ab=3，那么（ab）2=（a+b）24ab=m2+12再根据三角形的面积公式得出SABC=ACBC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，ABC的面积有最小值6【解答】解：设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx3=0，则a+b=m，ab=3，（ab）2=（a+b）24ab=m2+12SABC=ACBC=（）（ab）=（ab）=（ab）2=（m2+12）=m2+6，当m=0时，ABC的面积有最小值6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质13.（xx福建B卷4分）如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BCx轴，ACy轴，则ABC面积的最小值为6【分析】根据双曲线y=过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，整理得x2+mx3=0，由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，所以A.b是方程x2+mx3=0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b=m，ab=3，那么（ab）2=（a+b）24ab=m2+12再根据三角形的面积公式得出SABC=ACBC=m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m=0时，ABC的面积有最小值6【解答】解：设A（a，），B（b，），则C（a，）将y=x+m代入y=，得x+m=，整理，得x2+mx3=0，则a+b=m，ab=3，（ab）2=（a+b）24ab=m2+12SABC=ACBC=（）（ab）=（ab）=（ab）2=（m2+12）=m2+6，当m=0时，ABC的面积有最小值6故答案为6【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，三角形的面积，二次函数的性质14.（xx广东3分）如图，已知等边OA1B1，顶点A1在双曲线y=（x0）上，点B1的坐标为（2，0）过B1作B1A2OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边B1A2B2；过B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边B2A3B3；以此类推，则点B6的坐标为（2，0）【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2.B3.B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标【解答】解：如图，作A2Cx轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）点A2在双曲线y=（x0）上，（2+a）a=，解得a=1，或a=1（舍去），OB2=OB1+2B1C=2+22=2，点B2的坐标为（2，0）；作A3Dx轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）点A3在双曲线y=（x0）上，（2+b）b=，解得b=+，或b=（舍去），OB3=OB2+2B2D=22+2=2，点B3的坐标为（2，0）；同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；，点Bn的坐标为（2，0），点B6的坐标为（2，0）故答案为（2，0）【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2.B3.B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键15. （xx广西北海3分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，反比例函数 y = k1 (x 0) 的图像经过点C ，反比例函数xy = k2 (x 0) ，xy = - 6 ( x 0) 的图像交于 A 点和 B 点，若 C 为 y 轴任意一点，连接 AB.BC ，则x9DABC 的面积为 .2【解】18（xx年湖南省娄底市）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=图象上的一点，PAx轴于点A，则POA的面积为1【分析】直接利用反比例函数的性质结合系数k的几何意义得出答案【解答】解：点P是反比例函数y=图象上的一点，PAx轴于点A，POA的面积为： AOPA=xy=1故答案为：1【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出POA的面积是解题关键18(xx湖南省邵阳市)（3分）如图所示，点A是反比例函数y=图象上一点，作ABx轴，垂足为点B，若AOB的面积为2，则k的值是4【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|【解答】解：点A是反比例函数y=图象上一点，作ABx轴，垂足为点B，SAOB=|k|=2；又函数图象位于一、三象限，k=4，故答案为4【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义20. （xx湖南张家界3.00分）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B与点D都在反比例函数y=（x0）的图象上，则矩形ABCD的周长为12【分析】根据矩形的性质、结合点A的坐标得到点D的横坐标为2，点B的纵坐标为1，根据反比例函数解析式求出点D的坐标，点B的坐标，根据矩形的周长公式计算即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（2，1），点D的横坐标为2，点B的纵坐标为1，当x=2时，y=3，当y=1时，x=6，则AD=31=2，AB=62=4，则矩形ABCD的周长=2（2+4）=12，故答案为：12【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键21. （xx上海4分）已知反比例函数y=（k是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k10，求出k的取值范围即可【解答】解：反比例函数y=的图象有一支在第二象限，k10，解得k1故答案为：k1【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键22. （xx遂宁4分）已知反比例函数y=（k0）的图象过点（1，2），则当x0时，y随x的增大而 【分析】把（1，2）代入解析式得出k的值，再利用反比例函数的性质解答即可【解答】解：把（1，2）代入解析式y=，可得：k=2，因为k=20，所以当x0时，y随x的增大而增大，故答案为：增大【点评】此题考查了反比例函数y=（k0），的性质：当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时，图象分别位于第二、四象限当k0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一个象限，y随x的增大而增大三.解答题1. （xx湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与反比例函数y=（k0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线y=x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且ABO的面积为，求直线BC的解析式【分析】（1）将A点坐标代入直线y=x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；（2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y=x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得ACO与ABO面积相等，根据ABO的面积为列出方程OC2=，解方程求出OC=，即b=，进而得出直线BC的解析式【解答】解：（1）直线y=x过点A（m，1），m=1，解得m=2，A（2，1）反比例函数y=（k0）的图象过点A（2，1），k=21=2，反比例函数的解析式为y=；（2）设直线BC的解析式为y=x+b，三角形ACO与三角形ABO面积相等，且ABO的面积为，ACO的面积=OC2=，OC=，b=，直线BC的解析式为y=x+【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键2. （xx湖北襄阳7分）如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A（4，1）和点B（m，4）（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出线段AB的长和y1y2时x的取值范围【分析】（1）先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=，再把B（m，4）代入y1=中求出m得到B（1，4），然后利用待定系数法求直线解析式；（2）利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1y2时x的取值范围【解答】解：（1）把A（4，1）代入y1=得k=41=4，反比例函数的解析式为y1=，把B（m，4）代入y1=得4m=4，解得m=1，则B（1，4），把A（4，1），B（1，4）代入y2=ax+b得，解得，直线解析式为y2=x3；（2）AB=5，当4x0或x1时，y1y2【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点3. （xx湖南郴州10分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质因为y=，即y=+1，所以我们对比函数y=来探究列表：x43211234y=124411y=235310描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：当x0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）y=的图象是由y=的图象向上平移1个单位而得到；图象关于点（0，1）中心对称（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）当x0时，y随x的增大而增大；y=的图象是由y=的图象向上平移1个单位而得到；图象关于点（0，1）中心对称（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）x1+x2=0，x1=x2，A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，y1+y2=2，y1+y2+3=5【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型4.（xx山东济宁市8分）如图，已知反比例函数y=（x0）的图象与反比例函数y=（x0）的图象关于y轴对称，A（1，4），B（4，m）是函数y=（x0）图象上的两点，连接AB，点C（2，n）是函数y=（x0）图象上的一点，连接AC，BC（1）求m，n的值；（2）求AB所在直线的表达式；（3）求ABC的面积【分析】（1）先由点A确定k，再求m的值，根据关于y轴对称，确定k2再求n；（2）先设出函数表达式，再代入A.B两点，得直线AB的表达式；（3）过点A.B作x轴的平行线，过点C.B作y轴的平行线构造矩形，ABC的面积=矩形面积3个直角三角形的面积【解答】解：（1）因为点A.点B在反比例函数y=（x0）的图象上，k1=14=4，m4=k1=4，m=1反比例函数y=（x0）的图象与反比例函数y=（x0）的图象关于y轴对称k2=k1=42n=4，n=2（2）设直线AB所在的直线表达式为y=kx+b把A（1，4），B（4，1）代入，得解得AB所在直线的表达式为：y=x+5（3）如图所示：过点A.B作x轴的平行线，过点C.B作y轴的平行线，它们的交点分别是E.F、B.G四边形EFBG是矩形则AF=3，BF=3，AE=3，EC=2，CG=1，GB=6，EG=3SABC=S矩形EFBGSAFBSAECSCBG=BGEGAFFBAEECBGCG=1833=【点评】本题考查了反比例函数的图形及性质、待定系数法确定一次函数解析式及面积的和差关系题目具有综合性注意图形的面积可以用割补法也可以用规则的几何图形求和差5. （xx达州9分）矩形AOBC中，OB=4，OA=3分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k0）的图象与边AC交于点E（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；（2）连接EF，求EFC的正切值；（3）如图2，将CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；（3）先判断出EHGGBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论【解答】解：（1）OA=3，OB=4，B（4，0），C（4，3），F是BC的中点，F（4，），F在反比例y=函数图象上，k=4=6，反比例函数的解析式为y=，E点的坐标为3，E（2，3）；（2）F点的横坐标为4，F（4，），CF=BCBF=3=E的纵坐标为3，E（，3），CE=ACAE=4=，在RtCEF中，tanEFC=，（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，过点E作EHOB于H，EH=OA=3，EHG=GBF=90，EGH+HEG=90，由折叠知，EG=CE，FG=CF，EGF=C=90，EGH+BGF=90，HEG=BGF，EHG=GBF=90，EHGGBF，=，BG=，在RtFBG中，FG2BF2=BG2，（）2（）2=，k=，反比例函数解析式为y=【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键6. （xx遂宁9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k0）与反比例函数y=（m0）的图象交于第二、四象限A.B两点，过点A作ADx轴于D，AD=4，sinAOD=，且点B的坐标为（n，2）（1）求一次函数与反比例函效的解析式；（2）E是y轴上一点，且AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可【解答】解：（1）一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象交于A与B，且ADx轴，ADO=90，在RtADO中，AD=4，sinAOD=，=，即AO=5，根据勾股定理得：DO=3，A（3，4），代入反比例解析式得：m=12，即y=，把B坐标代入得：n=6，即B（6，2），代入一次函数解析式得：，解得：，即y=x+2；（2）当OE3=OE2=AO=5，即E2（0，5），E3（0，5）；当OA=AE1=5时，得到OE1=2AD=8，即E1（0，8）；当AE4=OE4时，由A（3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为y=x，中点坐标为（1.5，2），AO垂直平分线方程为y2=（x+），令x=0，得到y=，即E4（0，），综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，5）或（0，）时，AOE是等腰三角形【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键7.（xx资阳8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x2与双曲线y2=交于A.C两点，ABOA交x轴于点B，且OA=AB（1）求双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并直接写出y1y2时x的取值范围【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=2x2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点C的坐标，根据图象可得结论【解答】解：（1）点A在直线y1=2x2上，设A（x，2x2），过A作ACOB于C，ABOA，且OA=AB，OC=BC，AC=OB=OC，x=2x2，x=2，A（2，2），k=22=4，；（2），解得：，C（1，4），由图象得：y1y2时x的取值范围是x1或0x2【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大8.（xx乌鲁木齐10分）小明根据学习函数的经验，对y=x+的图象与性质进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是 （2）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=，n=；x3211234y2m2n（3）如图在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象请完成：当y=时，x= 写出该函数的一条性质
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