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课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.xx青岛 已知一次函数y=bax+c的图象如图14-8,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是()图14-8图14-92.xx包头样题二 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-10所示,则一次函数y=bx+b2-4ac与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为()图14-10图14-113.xx包头样题三 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-12所示,则化简二次根式(a+c)2+(b-c)2的结果是()图14-12A.a+bB.-a-bC.2b-cD.-2b+c4.xx枣庄 如图14-13是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()图14-13A.b20C.2a-b=0D.a-b+c=05.xx威海 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-14所示,下列结论错误的是()图14-14A.abc0B.a+c4acD.2a+b06.xx烟台 如图14-15,二次函数的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:2a-b=0;(a+c)2b2;当-1x3时,y0;当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是()图14-15A.B.C.D.7.xx达州 如图14-16,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.下列结论:abc0;若M(12,y1),N(52,y2)是函数图象上的两点,则y1y2;-35a-25.其中正确的结论有()图14-16A.1个B.2个C.3个D.4个8.xx广安 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-17所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.下列结论:b2-4ac0;a-b+c-2.其中,正确的个数是()图14-17A.1B.2C.3D.49.xx东河区二模 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-18所示,有下列结论:b2-4ac0;4a+c2b;(a+c)2b2;x(ax+b)a-b.其中正确结论的个数是()图14-18A.3B.2C.1D.010.xx广安 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-19所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有.(填序号)图14-19abc0;方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;2a+b=0;当x0时,y随x的增大而减小.11.如图14-20是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,直线x=-1是对称轴,有下列判断:b-2a=0;4a-2b+cy2.其中正确的序号是.图14-2012.xx天水 如图14-21是抛物线y1=ax2+bx+c(a0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:abc0;方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);当1xy1;x(ax+b)a+b.其中正确的结论是.(只填写序号)图14-2113.xx温州 如图14-22,过抛物线y=14x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标.(2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点D.连接BD,求BD的最小值;当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数解析式.图14-2214.如图14-23,抛物线y=ax2+bx+c经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)P是抛物线AB段上一动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A,P,M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标.图14-23|拓展提升|15.xx东河区二模 如图14-24,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图14-7所示,则下列结论:(1)b2-4ac0;(2)2a=b;(3)若(-72,y1),(-32,y2),( 54,y3)是该抛物线上的点,则y1y2y3;(4)3b+2c3时,y0;3a+b8a.其中正确的结论是()图14-25A.B.C.D.17.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)中的x与y的部分对应值如下表:x-1013y-1353下列结论:(1)ac1时,y的值随x值的增大而减小;(3)3是关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;(4)当-1x0.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个18.xx昆区二模 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-26所示,下列结论:abc0;2a+b=0;当m1时,a+bam2+bm;a-b+c0;若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1x2,则x1+x2=2.其中正确的是()图14-26A.B.C.D.19.xx衡阳 如图14-27,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:3a+b0;-1a-23;对于任意实数m,a+bam2+bm总成立;关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数为()图14-27A.1B.2C.3D.420.xx郴州 如图14-28,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图,连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S.求S关于t的函数解析式;求点P到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.图14-28参考答案1.A解析 由一次函数y=bax+c的图象可知ba0.ba0,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧.c0,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,观察可知选项A中图象符合描述.故选A.2.D3.D4.D解析 由图象的开口向上可知a0,由图象与y轴交于负半轴可知c0,ac0,即b24ac,A错误;由对称轴是直线x=1得-b2a=1,b=-2a,2a-b=2a-(-2a)=4a0,C错误;由二次函数图象的对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0),a-b+c=0,D正确.故选D.5.D解析 由函数图象的开口向下,判断a0;由对称轴在y轴的右侧,判断-b2a0,所以b0,所以abc0,A结论正确.当x=-1时,函数值为负,故a-b+c0,所以a+c4ac-8a,b24a(c-2),b24a2,则c-20,由a0知b24a0,故b24ac-2一定成立,则C结论正确;由图象知-b2a2a,即2a+b0,故D结论错误.故选D.6.D解析 A(-1,0),B(3,0),抛物线对称轴是直线x=-b2a=-1+32=1,2a+b=0.又a0,b0,错误,可以排除A选项.x=-1时,y=a-b+c=0,a+c=b,(a+c)2=b2,错误,可以排除B,C选项,只剩D选项,故选D.当-1x3时,抛物线在x轴下方,y0,正确.当a=1时,抛物线为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,将抛物线先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得抛物线y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,正确.故选D.7.D解析 抛物线开口向下,a0,b0.抛物线交y轴于正半轴,c0.abc0,正确.对称轴为直线x=2,点M(12,y1)到对称轴的距离大于点N(52,y2)到对称轴的距离,y1y2,正确.抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0),(5,0),二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5)=ax2-4ax-5a.抛物线与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),2-5a3,-35a-25,正确.故选D.8.B9.A10.解析 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,a0.x=-b2a0,b0,abc0.错误.由二次函数图象与x轴的交点横坐标为3,对称轴为直线x=1,则另一个交点的横坐标为21-3=-1,方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.正确.对称轴为直线x=-b2a=1,2a+b=0.正确.二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,当0x1时,y随x的增大而减小.错误.故正确的有.11.12.解析 由图象可知:a0,c0,故abc0,故错误.观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故正确.根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-2,0),故错误.观察图象可知,当1x4时,有y2y1,故错误.因为x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+ca+b+c,即x(ax+b)a+b,故正确,所以正确,故答案为.13.解:(1)由抛物线的解析式y=14x2-2x,得对称轴为直线x=-b2a=4.由题意知点A的横坐标为-2,代入解析式求得y=5,当14x2-2x=5时,x1=10,x2=-2,A(-2,5),B(10,5).(2)连接OD,OB,利用三角形三边关系可得BDOB-OD,所以当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值.由题意知OC=OD=5,OB=102+52=55,BD的最小值=OB-OD=55-5.(i)如图,当点P在对称轴左侧时,连接OD,设抛物线的对称轴交BC于点M,交x轴于点N.在RtODN中,DN=52-42=3,D(4,3),DM=2.设P(x,5),在RtPMD中,(4-x)2+22=x2,得x=52,P(52,5).设直线PD的函数表达式为y=kx+b,由4k+b=3,52k+b=5,得k=-43,b=253.直线PD的函数解析式为y=-43x+253.(ii)当点P在对称轴右侧时,点D在x轴下方,不符合要求.综上所述,直线PD的函数解析式为y=-43x+253.14.解:(1)抛物线过点C(0,-2),该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2.将A(4,0),B(1,0)代入,得16a+4b-2=0,a+b-2=0,解得a=-12,b=52.此抛物线的解析式为y=-12x2+52x-2.(2)存在.如图,设点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为-12m2+52m-2.当1m4时,AM=4-m,PM=-12m2+52m-2.又COA=PMA=90,当AMPM=AOCO=2时,APMACO,4-m-12m2+52m-2=2,即4-m=2-12m2+52m-2,4-m=-m2+5m-4,m2-6m+8=0,(m-2)(m-4)=0,解得m1=2,m2=4(舍去),P(2,1).当AMPM=COAO=12时,APMCAO,2(4-m)=-12m2+52m-2,m2-9m+20=0,(m-4)(m-5)=0,解得m1=4(舍去),m2=5(舍去).综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1).(3)如图,设点D的横坐标为t(0t4),则点D的纵坐标为-12t2+52t-2.过点D作y轴的平行线交AC于点E.由题意可求得直线AC的解析式为y=12x-2,点E的坐标为t,12t-2,DE=-12t2+52t-2-12t-2=-12t2+2t,SDCA=12-12t2+2t4=-t2+4t=-(t-2)2+4.当t=2时,DCA的面积最大.点D的坐标为(2,1).15.C16.B17.B18.D19.D解析 抛物线开口向下,a0,顶点坐标为(1,n),对称轴为直线x=1,-b2a=1,b=-2a,3a+b=3a+(-2a)=a0,故正确.抛物线与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),2c3.抛物线与x轴交于点A(-1,0),a-b+c=0,a-(-2a)+c=0,c=-3a,2-3a3,-1a-23,故正确.抛物线的顶点坐标为(1,n),当x=1时,函数有最大值n,即a+b+c=n,a+b+cam2+bm+c,a+bam2+bm,故正确.抛物线的顶点坐标为(1,n),抛物线开口向下,直线y=n-1与抛物线有两个交点,即一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,故正确.综上所述,结论正确的是,共4个.故选D.20.解:(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得-1-b+c=0,-9+3b+c=0,解得b=2,c=3,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)如图,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,抛物线的对称轴为直线x=1.当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),点M的坐标为(1,6).当t2时,若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,点P的横坐标t=12-0=2.又t2,此种情况不存在.综上,在直线l上存在点M(1,6),使得四边形CDPM是平行四边形.(3)如图,过点P作PFy轴,交BC于点F.设直线BC的函数解析式为y=mx+n(m0),将B(3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得3m+n=0,n=3,解得m=-1,n=3,直线BC的函数解析式为y=-x+3.点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点F的坐标为(t,-t+3),PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,S=12PFOB=12(-t2+3t)3=-32t2+92t(0t3).S=-32t2+92t=-32(t-32)2+278(0t3),-320,当t=32时,S取最大值,最大值为278.点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),线段BC=OB2+OC2=32,点P到直线BC的距离的最大值为278232=928,此时点P的坐标为(32,154).
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