八年级数学下册 专题突破讲练 巧用中点解决问题试题 （新版）青岛版.doc

巧用中点解决问题一、中位线定理1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC两边中点，求证DE平行且等于。利用全等和平行四边形进行证明。强调理解：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。（2）三角形有三条中位线，首尾相接时，小三角形面积等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。二、直角三角形斜边中线如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图，在RtABC中，ACB90，D是AB的中点，求证。利用矩形性质进行证明。总结：（1）当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接后用中位线；（2）计算中经常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半，特别要注意等腰直角三角形。例题1 如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，且BNAN，垂足为N，且AB6，BC10，MN1.5，则ABC的周长是（）A. 28 B. 32 C. 18 D. 25解析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（ABNAEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长。答案：延长线段BN交AC于E。AN平分BAC，BANEAN，ANAN，ANBANE90，ABNAEN，ABAE6，BNEN，又M是ABC的边BC的中点，CE2MN21.53，ABC的周长是ABBCAC6106325，故选D。例题2 如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 。解析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定理，求出第二个，第三个四边形的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长。答案：根据三角形中位线定理得，第二个四边形的边长为，周长为2，第三个四边形的周长为42，第n个四边形的周长为4（）n1，故答案为2，4（）n1。利用中点判断三角形形状示例 如图，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE（ACE120），点P、点M分别是线段BE、AD的中点，则CPM是（）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 非等腰三角形解析：首先根据等边三角形的性质，得出ACBC，CDCE，ACBECD60，则BCEACD，从而根据SAS证明BCEACD，得CBECAD，BEAD；再由点P、点M分别是线段BE、AD的中点，得BPAM，根据SAS证明BCPACM，得PCMC，BCPACM，则PCMACB60，从而证明该三角形是等边三角形。答案：ABC和CDE都是等边三角形，ACBC，CDCE，ACBECD60。BCEACD。BCEACD。CBECAD，BEAD。又点P、点M分别是线段BE、AD的中点，BPAM。BCPACM。PCMC，BCPACM。PCMACB60。CPM是等边三角形。故选C。转化三角形构造中位线示例 已知两个共顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABCCEF90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME。（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CBa，CE2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE45时，求证：BMME。解析：（1）如答图1所示，延长AB交CF于点D，证明BM为ADF的中位线即可；（2）如答图2所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；（3）如答图3所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BMDF，MEAG；然后证明ACGDCF，得到AGDF，从而证明BMME。答案：（1）证明：如答图1，延长AB交CF于点D，则易知ABC与DBC均为等腰直角三角形，ABBCBD，点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点，BM为ADF的中位线，BMCF。（2）解：如答图2所示，延长AB交CF于点D，则易知DBC与ABC为等腰直角三角形，ABBCBDa，ACDCa，点B为AD中点，又点M为AF中点，BMDF。分别延长FE与CA交于点G，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CEEFGE2a，CGCF2a，点E为FG中点，又点M为AF中点，MEAG。CGCF2a，CACDa，AGDFa，BMMEaa。（3）证明：如答图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知ABC与DBC均为等腰直角三角形，ABBCDB，ACDC，点B为AD中点，又点M为AF中点，BMDF。延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CEEFEG，CFCG，点E为FG中点，又点M为AF中点，MEAG。在ACG与DCF中，ACGDCF（SAS），AGDF，MEBM。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 直角三角形ABC的周长为2，斜边上的中线长为1，则该三角形的面积等于（）A. 1 B. C. D. 2. 如图，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB2，BC1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A. 1 B. C. D. *3. 如图，BE、CF分别是ABC的高，M为BC的中点，EF5，BC8，则EFM的周长是（）A. 21 B. 18 C. 13 D. 15*4. 如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且ABCD。下列结论：EGFH，四边形EFGH是矩形，HF平分EHG，EG（BCAD），四边形EFGH是菱形。其中正确结论的个数是（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个*5. 在正方形ABCD中，P为AB的中点，BEPD的延长线于点E，连接AE、BE、FAAE交DP于点F，连接BF，FC。下列结论：ABEADF；FBAB；CFDP；FCEF，其中结论正确的是（）A. B. C. D. 二、填空题*6. 如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC10，则PQ的长为。*7. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，A120，则EFcm。*8. 如图，在ABC中，ABAC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM。若AB13cm，BC10cm，DE5cm，图中阴影部分的面积为。*9. 命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AFBE，CE、BF交于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH。下列结论中：BFCE；OMON；OHCN； OHBHCH。其中正确的结论有_。三、解答题*10. 如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BCa，DEb，点M、N分别是CE、BD的中点。求证：（1）DMBM；（2）MNBD。*11. 已知：在ABC中，ABC90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM。（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系。*12. 已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连接DC。过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N。（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明。1. B 解析：CD是直角三角形ABC斜边上的中线，AB2CD2，直角三角形ABC的周长是2，ACBC，两边平方得：AC22ACBCBC26，由勾股定理得：AC2BC2AB24，2ACBC2，ACBC1，SABCACBC1。故选B。2. A 解析：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOEDE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB2，BC1，OEAEAB1，DE，OD的最大值为：1。3. C 解析：BE、CF分别是ABC的高，M为BC的中点，在RtBCE中，EMBC4，在RtBCF中，FMBC4，EFM的周长EMFMEF44513。故选C。4. C 解析：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，EFCD，FGAB，GHCD，HEAB，ABCD，EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形，EGFH，正确；四边形EFGH是矩形，错误；HF平分EHG，正确；当ADBC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，连接CD，延长EG到CD上一点N，ENBC，GNAD，EG（BCAD），只有ADBC时才可以成立，而本结论中AD与BC很显然不平行，故本结论错误；四边形EFGH是菱形，正确。综上所述，共3个正确。故选C。5. D 解析：正方形ABCD，BEED，EAFA，ABADCDBC，BADEAF90BEF，APDEPB，EABDAF，EBAADP，ABAD，ABEADF，正确；AEAF，BEDF，AEFAFE45，取EF的中点M，连接AM，AMEF，AMEMFM，BEAM，APBP，AMBEME，EMBEBM45，AMB9045135FMB，BMFM，AMFM，ABMFBM，ABFB，正确；BAMBFM，BEF90，AMEF，BAMAPM90，EBFEFB90，APFEBF，ABCD，APDFDC，EBFFDC，BEDF，BFDC，BEFDFC，FECF，FEBCFD90，正确，正确；故选D。6. 3 解析：BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），PQ是ADE的中位线，BECDABAC26BC261016，DEBECDBC6，PQDE3。7. 解：连接BD、AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，AC平分BAD，BAD120，BAC60，ABO906030，AOB90，AOAB21，由勾股定理得：BODO，A沿EF折叠与O重合，EFAC，EF平分AO，ACBD，EFBD，EF为ABD的中位线，EFBD（），故答案为：。8. 30cm2 解析：连接MN。M，N分别是AB，AC的中点，MN是ABC的中位线，MNBC，且MNBC5cm；过点A作AFBC于F。则AFMN，AF12cm（勾股定理）。图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；S阴影51230cm2。9. 解析：AFBE，ABBC，BADABC90，ABFBCE，BCEABF，BFACEB，BECBCEBEHABF90，BHE90，即BFEC，正确；四边形ABCD是正方形，BOAC，BOOC，由题意，正方形ABCD中，ABOBCO，已证BCEABF，ECOFBO，OBMOCN，OMON，即正确；OBMOCN，BMCN，只有当H为BM的中点时，OH等于CN的一半，故错误；过O点作OG垂直于OH，OG交CH于点G，在OGC与OHB中，故OGCOHB，OHOG，OHG是等腰直角三角形，所以结论正确。综上所述，正确。10. 证明：（1）BCa，DEb，CBECDB90，CBE，CDE为直角三角形，点M是CE的中点，DMBMEC，DMBM；（2）DMBM，MDB为等腰三角形，又N为BD的中点，MN为BD边上的中线，MNBD（三线合一）。11. 解：（1）结论：BMDM，BMD2BCD。理由如下：BM、DM分别是RtEBC、RtDEC的斜边上的中线，BMDMCE；又BMMC，MCBMBC，即BME2BCM；同理可得DME2DCM；BMEDME2（BCMDCM），即BMD2BCD。（2）在（1）中得到的结论仍然成立。即BMDM，BMD2BCD。证明：点M是RtBEC的斜边EC的中点，BMECMC，又点M是RtDEC的斜边EC的中点，DMECMC，BMDM；BMMC，DMMC，CBMBCM，DCMCDM，BMDEMBEMD2BCM2DCM2（BCMDCM）2BCD，即BMD2BCD。（3）所画图形如图所示：图1中有BMDM，BMD2BCD；图2中BCD不存在，有BMDM；图3中有BMDM，BMD3602BCD。解法同（2）。12. 解：图1：AMFBNE；图2：AMFBNE；图3：AMFENB180。证明：如答图2，取AC的中点H，连接HE、HF。F是DC的中点，H是AC的中点，HFAD，HFAD，AMFHFE，同理，HECB，HECB，BNEHEF。ADBC，HFHE，HEFHFE， BNEAMF。如答图3：取AC的中点H，连接HE、HF。F是DC的中点，H是AC的中点，HFAD，HFAD，AMFHFE180，同理，HECB，HECB，ENBHEF。ADBC，HFHE，HEFHFE，AMFENB180。答图2 答图3