2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（一）作业1 北师大版选修1 -1.doc

2.2.2 抛物线的简单性质（一）基础达标1.顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(4，5)的抛物线方程为()Ay2x By2xCx2y Dx2y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x22py(p0)，将(4，5)代入得p，所以，抛物线方程为x2y.2.已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值为()A2 B3C4 D0解析：选B.zx24x3(x1)22，x0，x0时，z有最小值，zmin3.3.设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0，2) B0，2C(2，) D2，)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p4，根据已知只要|FM|4即可，根据抛物线定义，|FM|y02，由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)4.若抛物线x22y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()Aa0 B00，即a1时，ya1时d2取到最小值，不符合题意综上可知a1.5.已知抛物线yx2上有一定点A(1，1)和两动点P、Q，当PAPQ时，点Q的横坐标取值范围是()A(，3 B1，)C3，1 D(，31，)解析：选D.设P(x0，x)，Q(x，x2)，其中x01，xx0，则(1x0，1x)，(xx0，x2x)，PAPQ，0.(1x0)(xx0)(1x)(x2x)0，即1(1x0)(xx0)0，xx0(1x0)1，当x01时，1x0(x01)2，x213，故Q横坐标的取值范围是(，31，)6.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，2)到焦点的距离为4，则m_解析：由已知，可设抛物线方程为x22py(p0)由抛物线定义有24，p4，x28y.将(m，2)代入上式，得m216.m4.答案：47.已知直线yk(x2)，(k0)与抛物线y28x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|3|FB|，则k的值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y232.yy的最小值为32.答案：329.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程解：如图，设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为F，所以直线方程为y.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据抛物线的定义，得|AB|AF|BF|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.联立方程组消去y，得x23px0，x1x23p，3pp8，即p2.所求抛物线的方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可以求得抛物线的方程为y24x.综上，抛物线的方程为y24x或y24x.10.设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(0，)的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求k的值解：(1)由题意知，动点P到定点M的距离等于它到直线x的距离，根据抛物线的定义，得动点P的轨迹是抛物线，其中，则2p2，故动点P的轨迹方程为x22y.(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得x22kx20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k，x1x22，|AB|2，解之得k1.能力提升1.设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)解析：选C.法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知，即，所以|MB|2m，则|MA|6m.故AMA130，得AFxMAA160，结合选项可知答案法二：由|AF|3|BF|可知3，易知F(1，0)，设A(xA，yA)，B(x0，y0)，则，从而可解得A的坐标为(43x0，3y0)因为点A，B都在抛物线上，所以，解得x0，y0，所以kl.法三：结合焦点弦公式|AB|及进行求解设直线AB的倾斜角为，由题意知p2，F(1，0)，3.又，1，|BF|，|AF|4，|AB|.又由抛物线焦点弦公式：|AB|，sin2，sin ，ktan .故选C.2.抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为_解析：由余弦定理，得AB2AF2BF22|AF|BF|cos 120AF2BF2|AF|BF|，过A，B作AA，BB垂直于准线，则|MN|(|AA|BB|)(|FA|FB|)，.答案：3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1，2)在抛物线上，222p1，解得p2.所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA，kPB，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得，y12(y22)，y1y24.由得直线AB的斜率为1.4抛物线C的方程为yax2(a0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x00)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(P，A，B三点互不相同)，且满足k2k10(0且1)(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；(3)当1时，若点P的坐标为(1，1)，求PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围解：(1)由抛物线C的方程yax2(a0)得，焦点坐标为(0, )，准线方程为y.(2)证明：设直线PA的方程为yy0k1(xx0)，直线PB的方程为yy0k2(xx0)点P(x0，y0)和点A(x1，y1)的坐标是方程组的解将式代入式得ax2k1xk1x0y00，于是x1x0，故x1x0，又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组的解将式代入式得ax2k2xk2x0y00.于是x2x0，故x2x0.由已知得，k2k1，则x2k1x0.设点M的坐标为(xM，yM)，由，则xM.将式和式代入上式得xMx0，即xMx00.所以线段PM的中点在y轴上(3)因为点P(1，1)在抛物线yax2上，所以a1，抛物线方程为yx2.由式知x1k11，代入yx2得y1(k11)2.将1代入式得x2k11，代入yx2得y2(k11)2.因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(k11，k2k11)，B(k11，k2k11)于是(k12，k2k1)，(2k1，4k1)，2k1(k12)4k1(k2k1)2k1(k12)(2k11)因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有0.求得k1的取值范围是k12或k10.又点A的纵坐标y1满足y1(k11)2，故当k12时，y11；当k10时，1y1.即y1(，1)(1，)