闭区间上连续函数的性质(详细版).ppt

1 第十节 一 有界性与最大值最小值定理 二 零点定理与介值定理 三 一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 2 学习指导 教学目的 了解闭区间上连续函数的性质 基本练习 了解并通过一定的练习学习最大最小值定理 有界性定理 零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用 3 注意事项 闭区间上连续的函数有许多好的性质 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理 有界性定理 零点定理及介值定理 了解定理的条件和结论 并通过一定的练习学会运用它们 3 如果函数f x 在开区间 a b 内连续 在右端点b左连续 在左端点a右连续 那么函数f x 就是在闭区间 a b 上连续的 4 并非任何函数都有最大值和最小值 例如 函数f x x在开区间 a b 内既无最大值又无最小值 应注意的问题 一 有界性与最大值最小值定理 最大值与最小值对于在区间I上有定义的函数f x 如果有x0 I 使得对于任一x I都有f x f x0 f x f x0 则称f x0 是函数f x 在区间I上的最大值 最小值 5 例如 6 说明 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一点x2 a b 使f x2 是f x 在 a b 上的最小值 至少有一点x1 a b 使f x1 是f x 在 a b 上的最大值 定理说明 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 那么 7 应注意的问题 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f x x在开区间 a b 内既无最大值又无最小值 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 8 又如 如下函数在闭区间 0 2 内既无最大值又无最小值 应注意的问题 如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 9 定理2 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明设函数f x 在闭区间 a b 上连续 根据定理1 存在f x 在区间 a b 上的最大值M和最小值m 使任一x a b 满足m f x M 上式表明 f x 在 a b 上有上界M和下界m 因此函数f x 在 a b 上有界 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值 10 有界性与最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 11 二 零点定理与介值定理 注 如果x0使f x0 0 则x0称为函数f x 的零点 定理3 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 即f a f b 0 那么在开区间 a b 内至少存在一点x 使f x 0 12 例1证明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根 证明设f x x3 4x2 1 则f x 在闭区间 0 1 上连续 并且f 0 1 0 f 1 2 0 根据零点定理 在 0 1 内至少有一点x 使得f x 0 即x3 4x2 1 0 这说明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根是x 二 零点定理与介值定理 定理3 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 即f a f b 0 那么在开区间 a b 内至少存在一点x 使f x 0 13 定理4 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 那么 对于f a 与f b 之间的任意一个数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得f x C 二 零点定理与介值定理 定理3 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 即f a f b 0 那么在开区间 a b 内至少存在一点x 使f x 0 14 二 零点定理与介值定理 定理3 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 那么在开区间 a b 内至少一点x 使f x 0 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 定理4 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 那么 对于f a 与f b 之间的任意一个数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得f x C 15 证 16 由零点定理 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 几何解释 17 例2 证 由零点定理 18 三 一致连续性 定理5 一致连续性定理 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 那么它在该区间上一致连续 不论在区间I的任何部分 只要自变量的两个数值接近到一定程度 就可使对应的函数值达到所指定的接近程度 定义 设函数f x 在区间I上有定义 如果对于任意给定的正数 总存在着正数 使得对于区间I上的任意两点x1 x2 当 x1 x2 时 就有 f x1 f x2 那么称函数f x 在区间I上是一致连续的 19 思考题 下述命题是否正确 20 思考题解答 不正确 例函数 21 五 小结 关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理 有界性定理 最值定理 零点定理 介值定理 注意条件 1 闭区间 2 连续函数 这两点不全满足时上述定理不一定成立 它们是研究连续函数性质的重要工具 22 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 23 作业 P74 2 3