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第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习五五、根与系数关系综合题1：1a、b是一元二次方程2x25x30的两根，求下列代数式的值(1) a2b2；(2) 2a24ab2已知关于的一元二次方程（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；（2）若，是关于的一元二次方程的两根，且，求的值3已知关于的方程，（1）当为何值时，此方程有实数根；（3分）（2）若此方程的两实数根，满足：，求的值（4分）4关于的一元二次方程的实数解是和(1)求的取值范围；(2)如果且为整数，求的值.5设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根.（1）试推导x1+x2=-，x1x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值6已知方程的两根为、，且 ,求下列各式的值:（）+ ；（2）；（3）；（4）.7已知关于x的一元二次方程x22xm0有实数根(1)求m的取值范围；(2)若a，b是此方程的两个根，且满足，求m的值8若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.9已知关于x的方程x2+（m3）xm（2m3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由10已知关于x的一元二次方程x23x+k2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）选一个适当的k值使得此一元二次方程的根都是整数11已知关于的一元二次方程（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根12已知关于的方程（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值.13已知关于x的方程x2+4x+3-a=0 （1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解14已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m21=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1x2）2=16x1x2，求实数m的值15已知、是ABC的三条边，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，方程的根为x=0。（1）试判断ABC的形状。 （2）若、为关于x的一元二次方程x2 mx3m=0的两个根,求m的值。答案：1(1) (2) 试题分析：首先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和两根之积，然后把所给式子变形，代入求解即可.试题解析：a、b是方程2x25x30的两根ab，ab(1) a2b2(ab)22ab(2) 将xa代入方程中，得2a25a32a24ab5a34abab32（1）证明见解析；（2）或试题分析：（1）根据根的判别式进行证明；（2）根据根与系数的关系求出两根之和和两根知己，代入求解即可试题解析：（1）由题意得，即故这个一元二次方程总有连个实数根；整理得，解得或3（1）；（2）0试题分析：（1）由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解；（2）由于方程的两实数根，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解试题解析：（1）若方程有实数根，则=，当，时，此方程有实数根；（2）此方程的两实数根，满足：，而，2k3=3或3，k=0或3，k=3不合题意，舍去；k=04（1）k0.（2）k的值为1或0.试题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b2-4ac0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1再代入不等式x1+x2-x1x2-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值试题解析：(1)方程有实数根，=224(k+1)0，解得k0.故K的取值范围是k0. (2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=2,=k+1，=2(k+1).由已知,得2(k+1)2.又由(1)k0，20，代入后解不等式即可得a的取值范围；（2）把a代入后解方程即可.试题解析：（1）方程有两个不相等的实数根16-4（3-a）0,a-1 .（2）由题意得：a=0 ,方程为x2+4x+3=0 ,解得 .点拨：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14（1）m1；（2）1.试题分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x1+x2=2（m+1），x1x2=m21；代入（x1x2）2=16x1x2，建立关于m的方程，据此即可求得m的值试题解析：（1）由题意有=2（m+1）24（m21）0，整理得8m+80，解得m1，实数m的取值范围是m1；（2）由两根关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m21，（x1x2）2=16x1x2（x1+x2）23x1x216=0，2（m+1）23（m21）16=0，m2+8m9=0，解得m=9或m=1m1m=115（1）ABC为等边三角形 ； （2）m=12 试题分析：（1）把x=0代入方程可得：a=b，根据方程有两个相等的实数根，得出a+b-2c=0，然后可得出a=b=c；（2）由（1）可知一元二次方程x2 mx3m=0有两个相等的实数根，利用根的判别式=0可求出m的值试题解析：（1）把x=0代入方程可得：2b=2a，所以a=b，又因为方程有两个相等的实数根，所以，所以a+b-2c=0，所以2a-2c=0，所以a=c，所以a=b=c，即ABC为等边三角形；（2）由（1）可知一元二次方程x2 mx3m=0有两个相等的实数根，所以，所以m=-12，m=0（不合题意舍去），所以m=-12
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