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解直角三角形一.选择题 1.（xx江苏苏州3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先证明PB=BC，推出C=30，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在RtPAB中，APB=30，PB=2AB，由题意BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60，C=30，PC=2PA，PA=ABtan60，PC=220=40（海里），故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出C=302.（xx江苏无锡3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tanAFE的值（）A等于B等于C等于D随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD，=设EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tanFAG=故选：A【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求AFE的正切值转化为求FAG的正切值来解答的3. （xx黑龙江哈尔滨3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tanABD=，则线段AB的长为（）AB2C5D10【分析】根据菱形的性质得出ACBD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可【解答】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB=90，BD=8，OB=4，tanABD=，AO=3，在RtAOB中，由勾股定理得：AB=5，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键4.（xx贵州贵阳3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan BAC的值为（ B ）（A） 1（B）1 （C）23（D） 33【解】图解2.二.填空题1.（xx江苏无锡2分）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC的面积等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，分AB.AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在RtABD中求得AD.BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB.AC位于AD异侧时，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，则BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如图2，当AB.AC在AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10综上，ABC的面积是15或10，故答案为15或10【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理2.（xx江苏苏州3分）如图，在RtABC中，B=90，AB=2，BC=将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ABC，连接BC，则sinACB=【分析】根据勾股定理求出AC，过C作CMAB于M，过A作ANCB于N，求出BM、CM，根据勾股定理求出BC，根据三角形面积公式求出AN，解直角三角形求出即可【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得：AC=5，过C作CMAB于M，过A作ANCB于N，根据旋转得出AB=AB=2，BAB=90，即CMA=MAB=B=90，CM=AB=2，AM=BC=，BM=2=，在RtBMC中，由勾股定理得：BC=5，SABC=，5AN=22，解得：AN=4，sinACB=，故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键3.（xx山东济宁市3分）如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在 RtCBD 中，CD=BCsin60=2=（km） 故答案为：3. （xx广西南宁3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：BDA=45，则AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案为：40【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tanCDA=tan30=是解题关键4. （xx黑龙江齐齐哈尔3分）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=17【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案为：17【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键5.（xx贵州铜仁4分）在直角三角形ABC中，ACB=90，D.E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分BCE，BC=2，则AB=4【分析】由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分ACD，进而可得出ACE=DCE，由CD平分BCE利用角平分线的性质可得出DCE=DCB，结合ACB=90可求出ACE.A的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB的长度【解答】解：CE所在直线垂直平分线段AD，CE平分ACD，ACE=DCECD平分BCE，DCE=DCBACB=90，ACE=ACB=30，A=60，AB=4故答案为：4三.解答题1. （xx湖北随州8分）随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，xx年4月3日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作AHBC于H，如图2，由于BD=DE=3，则AB=3BD=15，在RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE为等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的长为3m；（2）作AHBC于H，如图2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最长的斜拉索AC的长为30m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）2. （xx湖南郴州8分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为EAB=60，EAC=30，且D，B，C在同一水平线上已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米参考数据：1.414，1.732）【分析】由EAB=60、EAC=30可得出CAD=60、BAD=30，进而可得出CD=AD.BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度【解答】解：EAB=60，EAC=30，CAD=60，BAD=30，CD=ADtanCAD=AD，BD=ADtanBAD=AD，BC=CDBD=AD=30，AD=1525.98【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD.BD=AD是解题的关键3.（xx江苏宿迁10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.（1）求BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）【答案】（1）BPQ=30；（2）树PQ的高度约为15.8m. 【分析】 (1）根据题意题可得：A=45，PBC=60，QBC=30，AB=100m，在RtPBC中，根据三角形内角和定理即可得BPQ度数；（2）设CQ=x，在RtQBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得PBQ=BPQ=30，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】（1）依题可得：A=45，PBC=60，QBC=30，AB=10m，在RtPBC中，PBC=60，PCB=90，BPQ=30；（2）设CQ=x，在RtQBC中，QBC=30，QCB=90，BQ=2x，BC=x，又PBC=60，QBC=30，PBQ=30，由（1）知BPQ=30，PQ=BQ=2x，PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又A=45，AC=PC，即3x=10+x，解得：x=，PQ=2x=15.8（m），答：树PQ的高度约为15.8m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.4.（xx江苏淮安8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45的方向上，如图所示求凉亭P到公路l的距离（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）【分析】作PDAB于D，构造出RtAPD与RtBPD，根据AB的长度利用特殊角的三角函数值求解【解答】解：作PDAB于D设BD=x，则AD=x+200EAP=60，PAB=9060=30在RtBPD中，FBP=45，PBD=BPD=45，PD=DB=x在RtAPD中，PAB=30，CD=tan30AD，即DB=CD=tan30AD=x=（200+x），解得：x273.2，CD=273.2答：凉亭P到公路l的距离为273.2m【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答5.（xx江苏徐州5分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：1.414，1.732【分析】利用锐角三角函数，在RtCDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽【解答】解：在RtCDE中，sinC=，cosC=，DE=sin30DC=14=7（m），CE=cos30DC=14=712.12412.12，四边形AFED是矩形，EF=AD=6m，AF=DE=7m在RtABF中，B=45，DE=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m【点评】本题考查了解直角三角形的应用题目难度不大，求BF的长即可利用直角等腰三角形的性质，也可利用锐角三角函数6.（xx江苏无锡8分）如图，四边形ABCD内接于O，AB=17，CD=10，A=90，cosB=，求AD的长【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出C=90，ABC+ADC=180作AEBC于E，DFAE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10解RtAEB，得出BE=ABcosABE=，AE=，那么AF=AEEF=再证明ABC+ADF=90，根据互余角的互余函数相等得出sinADF=cosABC=解RtADF，即可求出AD=6【解答】解：四边形ABCD内接于O，A=90，C=180A=90，ABC+ADC=180作AEBC于E，DFAE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=10在RtAEB中，AEB=90，AB=17，cosABC=，BE=ABcosABE=，AE=，AF=AEEF=10=ABC+ADC=180，CDF=90，ABC+ADF=90，cosABC=，sinADF=cosABC=在RtADF中，AFD=90，sinADF=，AD=6【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sinADF=是解题的关键7.（xx江苏宿迁10分）如图，AB.AC分别是O的直径和弦，ODAC于点D，过点A作O的切线与OD的延长线交于点P，PC.AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是O的切线；（2）若ABC=60,AB=10,求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CF=5. 【分析】试题分析：（1）、连接OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP=90，即OCPC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OCPE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可试题解析：（1）、连接OC，ODAC，OD经过圆心O，AD=CD，PA=PC，在OAP和OCP中，OAPOCP（SSS），OCP=OAPPA是O的切线，OAP=90OCP=90，即OCPCPC是O的切线（2）、AB是直径，ACB=90，CAB=30，COF=60，PC是O的切线，AB=10，OCPF，OC=OB=AB=5，OF=10，BF=OFOB=5【点睛】（1）、切线的判定与性质；（2）、解直角三角形9.（xx山东烟台市8分）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速在l外取一点P，作PCl，垂足为点C测得PC=30米，APC=71，BPC=35上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】先求得AC=PCtanAPC=87.BC=PCtanBPC=21，据此得出AB=ACBC=8721=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87，在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21，则AB=ACBC=8721=66，该汽车的实际速度为=11m/s，又40km/h11.1m/s，该车没有超速【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键10.（xx山东济宁市8分）随着我市农产品整体品牌形象“聊胜一筹!”的推出，现代农业得到了更快发展某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角BAC=150，在点D处测得A点、C点的仰角分别为9，15.6，如图2求保温板AC的长是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：0.86，sin90.16，cos90.99，tan90.16，sin15.60.27，cos15.60.96，tan15.60.28）【分析】作CEBD.AFCE，设AF=x，可得AC=2x、CF=x，在RtABD中由AB=EF=2知BD=，DE=BDBE=x，CE=EF+CF=2+x，根据tanCDE=列出关于x的方程，解之可得【解答】解：如图所示，过点C作CEBD于点E，过点A作AFCE于点F，则四边形ABEF是矩形，AB=EF、AF=BE，设AF=x，BAC=150、BAF=90，CAF=60，则AC=2x、CF=AFtanCAF=x，在RtABD中，AB=EF=2，ADB=9，BD=，则DE=BDBE=x，CE=EF+CF=2+x，在RtCDE中，tanCDE=，tan15.6=，解得：x0.7，即保温板AC的长是0.7米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用11.（xx山东东营市8分）关于x的方程2x25xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y210y+k24k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长【分析】（1）利用判别式的意义得到=25sin2A16=0，解得sinA=；（2）利用判别式的意义得到1004（k24k+29）0，则（k2）20，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到ABC的周长；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到ABC的周长【解答】解：（1）根据题意得=25sin2A16=0，sin2A=，sinA=或 ，A为锐角，sinA=；（2）由题意知，方程y210y+k24k+29=0有两个实数根，则0，1004（k24k+29）0，（k2）20，（k2）20，又（k2）20，k=2，把k=2代入方程，得y210y+25=0，解得y1=y2=5，ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=AC=5sinA=，AD=3，BD=4DC=2，BC=ABC的周长为；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，sinA=，A D=DC=3，AC=6ABC的周长为16，综合以上讨论可知：ABC的周长为或16【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考查了解直角三角形12.（xx上海10分）如图，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值【分析】（1）过A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键13. （xx达州6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）【分析】过点C作CDAB，设CD=x，由CBD=45知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得【解答】解：如图，过点C作CDAB，交AB延长线于点D，设CD=x米，CBD=45，BDC=90，BD=CD=x米，A=30，AD=AB+BD=4+x，tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用14. （xx遂宁10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45，然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60，求山高BC（结果保留根号）【分析】作DFAC于F解直角三角形分别求出BE.EC即可解决问题；【解答】解：作DFAC于FDF：AF=1：，AD=200米，tanDAF=，DAF=30，DF=AD=200=100，DEC=BCA=DFC=90，四边形DECF是矩形，EC=BF=100（米），BAC=45，BCAC，ABC=45，BDE=60，DEBC，DBE=90BDE=9060=30，ABD=ABCDBE=4530=15，BAD=BAC1=4530=15，ABD=BAD，AD=BD=200米，在RtBDE中，sinBDE=，BE=BDsinBDE=200=100，BC=BE+EC=100+100（米）【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型15. （xx资阳9分）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30角，线段AA1表示小红身高1.5米（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE=18+x，由cosCAD=可建立关于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的长，继而根据CD=ADsinCAD求得CD从而得出答案【解答】解：（1）在RtACD中，cosCAD=，AC=18.CAD=30，AD=12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在RtBEF中，BE=18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），CF=10，AC=AF+CF=10+x，由cosCAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+3，CD=ADsinCAD=（24+3）=，则C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义及根据题意找到两直角三角形间的关联16. （xx乌鲁木齐10分）如图，小强想测量楼CD的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在A处仰望楼顶，测得仰角为37，再往楼的方向前进30米至B处，测得楼顶的仰角为53（A，B，C三点在一条直线上），求楼CD的高度（结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计）【分析】设CD=xm，根据AC=BCAB，构建方程即可解决问题；【解答】解：设CD=xm，在RtACD中，tanA=，AC=，同法可得：BC=，AC=BC=AB，=30，解得x=52.3，答：楼CD的高度为52.3米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键17. （xx嘉兴10分）如图1,滑动调节式遮阳伞的立柱垂直于地面,为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为,为中点, ,. ,.当点位于初始位置时,点与重合（图2）.根据生活经验,当太阳光线与垂直时,遮阳效果最佳.（1）上午10:00时,太阳光线与地面的夹角为（图3）,为使遮阳效果最佳,点需从上调多少距离? （结果精确到）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4）,为使遮阳效果最佳,点在（1）的基础上还需上调多少距离? （结果精确到）（参考数据：，）【答案】（1）点需从上调；（2）点在（1）的基础上还需上调【解析】【分析】（1）如图2，当点位于初始位置时，. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为，点上调至处，.,为等腰直角三角形，即可求出点需从上调的距离.（2）中午12:00时，太阳光线与，地面都垂直，点上调至处，过点作于点，根据即可求解.【解答】（1）如图2，当点位于初始位置时，.如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为，点上调至处，.，.，为等腰直角三角形，即点需从上调. （2）如图4，中午12:00时，太阳光线与，地面都垂直，点上调至处，.，.，.，得为等腰三角形，.过点作于点，即点在（1）的基础上还需上调.【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.18. （xx贵州安顺10分） 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是米，坡面的倾斜角，在距点米处有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下处与建筑物之间需留下至少米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.（参考数据：，）【答案】该建筑物需要拆除.【解析】分析：根据正切的定义分别求出AB.DB的长，结合图形求出DH，比较即可详解：由题意得，米，米，在中，在中， （米），米米，该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键19. （xx广西桂林8分）如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，结果精确到0.1小时）【答案】1.0小时.【解析】分析：延长AB交南北轴于点D，则ABCD于点D，通过解直角三角形BDC和ADC，求出BD.CD和AD的长，继而求出AB的长，从而可以解决问题.详解：如图，因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则ABCD于点DBCD=45，BDCD，BD=CD在RtBDC中，cosBCD=，BC=60海里，即cos45=，解得CD=海里，BD=CD=海里在RtADC中，tanACD=即 tan60=，解得AD=海里，AB=ADBD，AB=30（）海里海监船A的航行速度为30海里/小时，则渔船在B处需要等待的时间为 =2.451.41=1.041.0小时，渔船在B处需要等待约1.0小时点睛：此题考查了方向角问题此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用20. （xx黑龙江大庆6分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（参考数据：2.449，结果保留整数）【分析】过点P作PCAB，则在RtAPC中易得PC的长，再在直角BPC中求出PB【解答】解：作PCAB于C点，APC=30，BPC=45 AP=80（海里）在RtAPC中，cosAPC=，PC=PAcosAPC=40（海里）在RtPCB中，cosBPC=，PB=4098（海里）答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里21 （xx湖北省恩施8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15方向上，求旗台与图书馆之间的距离（结果精确到1米，参考数据1.41，1.73）【分析】先根据题目给出的方向角求出三角形各个内角的度数，过点B作BEAC构造直角三角形利用三角函数求出AE.BE，再求和即可【解答】解：由题意知：WAC=30，NBC=15，BAC=60，ABC=75，C=45过点B作BEAC，垂足为E在RtAEB中，BAC=60，AB=100米AE=cosBACAB=100=50（米）BE=sinBACAB=100=50（米）在RtCEB中，C=45，BE=50（米）CE=BE=50=86.5（米）AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）137米答：旗台与图书馆之间的距离约为137米【点评】本题考查了方向角和解直角三角形题目难度不大，过点B作AC的垂线构造直角三角形是解决本题的关键22.（xx贵州铜仁10分）如图，有一铁塔AB，为了测量其高度，在水平面选取C，D两点，在点C处测得A的仰角为45，距点C的10米D处测得A的仰角为60，且C.D.B在同一水平直线上，求铁塔AB的高度（结果精确到0.1米，1.732）【分析】根据AB和ADB.AB和ACB可以求得DB.CB的长度，根据CD=CBDB可以求出AB的长度，即可解题【解答】解：在RtADB中，DB=AB，RtACB中，CB=AB，CD=CBDB，AB=23.7（米）答：电视塔AB的高度约23.7米23.（xx海南8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE为45，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角GEF为60，点A.B.C三点在同一水平线上（1）计算古树BH的高；（2）计算教学楼CG的高（参考数据：14，1.7）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）作HJCG于G则HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米在RtDEH中，EDH=45，HE=DE=7米（2）作HJCG于G则HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x在RtBCG中，tan60=，=，x=+CG=CF+FG=1.7+3.5+1.5=11.3米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型24.（xx贵州遵义8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64，吊臂底部A距地面1.5m（计算结果精确到0.1m，参考数据sin640.90，cos640.44，tan642.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为11.4m（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点D作DH地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：（1）在RtABC中，BAC=64，AC=5m，AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点D作DH地面于H，交水平线于点E，在RtADE中，AD=20m，DAE=64，EH=1.5m，DE=sin64AD200.918（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m25（xx年湖南省娄底市）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为，sin=，在顶端E点测得A的仰角为45，求发射塔AB的高度【分析】作EHAC于H，设AC=24x，根据正弦的定义求出AD，根据勾股定理求出CD，根据题意列出方程求出x，结合图形计算即可【解答】解：作EHAC于H，则四边形EDCH为矩形，EH=CD，设AC=24x，在RtADC中，sin=，AD=25x，由勾股定理得，CD=7x，EH=7x，在RtAEH中，AEH=45，AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，AB=ACBC=480452=28，答：发射塔AB的高度为28m【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键26(xx湖南省邵阳市)（8分）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角ABD为30；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角ACB为15，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0lm温馨提示：sin150.26，cosl50.97，tan150.27）【分析】先在RtABD中，用三角函数求出AD，最后在RtACD中用三角函数即可得出结论【解答】解：在RtABD中，ABD=30，AB=10m，AD=ABsinABD=10sin30=5，在RtACD中，ACD=15，sinACD=，AC=19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键27（xx湖南长沙8.00分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A.B两地间的公路进行改建如图，A.B两地之间有一座山汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知BC=80千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：141，1.73）【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BCsin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）cos30=，BC=80（千米），BD=BCcos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线28. （xx湖南张家界8.00分）xx年9月8日10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC【分析】如图，作DEAB于E，DFBC于F，根据题意得到ADE=30，CDF=30，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700，DE=AE=700，则BE=300，所以DF=300，BF=700，再在RtCDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可【解答】解：如图，作DEAB于E，DFBC于F，ADE=30，CDF=30，在RtADE中，AE=AD=1400=700，DE=AE=700，BE=ABAE=1000700=300，DF=300，BF=700，在RtCDF中，CF=DF=300=100，BC=700+100=800答：选手飞行的水平距离BC为800m【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形29. （xx湖南湘西州8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A.B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C经测量，C位于A的北偏东60的方向上，C位于B的北偏东30的方向上，且AB=10km（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）【分析】（1）先根据方向角的定义得出CAB=30，ABC=120，由三角形内角和定理求出C=180CABABC=30，则CAB=C=30，根据等角对等边求出BC=AB=10km；（2）首先过点C作CEAB于点E，然后在RtCBE中，求得答案【解答】解：（1）如图，由题意得CAB=30，ABC=90+30=120，C=180CABABC=30，CAB=C=30，BC=AB=10km，即景点B.C相距的路程为10km（2）过点C作CEAB于点E，BC=10km，C位于B的北偏东30的方向上，CBE=60，在RtCBE中，CE=km【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，比较简单涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识根据条件得出CAB=C是解题的关键30.（xx上海10分）如图，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值【分析】（1）过A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键31. （xx达州6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）【分析】过点C作CDAB，设CD=x，由CBD=45知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得【解答】解：如图，过点C作CDAB，交AB延长线于点D，设CD=x米，CBD=45，BDC=90，BD=CD=x米，A=30，AD=AB+BD=4+x，tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用32. （xx遂宁10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45，然后沿着坡度为=1：的坡面
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