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小专题(一)三角形三边关系的巧用“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程(组)或不等式(组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.类型1判断三条线段能否组成三角形1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形?(1)5,5,a(0a10);(2)a+1,a+2,a+3;(3)三条线段的长度之比为235.解:(1)0aa,因而能构成三角形.(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.(3)三条线段之比为235,设三条线段为2k,3k,5k,2k+3k=5k,因而不能组成三角形.类型2确定三角形的个数2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有(B)A.2种B.3种C.4种D.5种3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有9个.4.现有长为7 cm,3 cm的木棒各一根,另有一堆长短不等的木棒若干,请在这堆木棒里选取长为偶数且能与原两根木棒钉成三角形的木棒,则符合条件的木棒有几种?解:设符合条件的木棒的长为x cm,则4x-5B.-5a-2或a-56.一个三角形有两边长为2和5,则第三边长x的取值范围是3x7.若它的周长是偶数,则第三边的长为5.类型4确定等腰三角形的边长7.已知有两边相等的三角形的两边长分别为6 cm,4 cm,则该三角形的周长是16 cm或14 cm.8.在ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分为10 cm和18 cm两部分,求ABC各边的长.解:设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm,BC=y cm,BD是腰上的中线,AD=DC=x cm.若AB+AD=10 cm,则解得此时组不成三角形,应舍去.若AB+AD=18 cm,则解得AB=AC=12 cm,BC=4 cm,即ABC各边的长分别为12 cm,12 cm和4 cm.类型5在代数中的应用9.已知等腰ABC的周长为10,求腰长x的取值范围.解:设腰长为x,则底边长为10-2x,依题意得解得x5.故腰长的取值范围为x5.10.已知a,b,c是ABC的三边,a,b满足|a-4|+(b-2)2=0,c为奇数,求ABC的周长.解:|a-4|+(b-2)2=0,a-4=0且b-2=0,a=4,b=2,2c0,a-b-c0,a+b-c0,|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|=(a+b+c)-(a-b-c)-(a-b+c)-(a+b-c)=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c=0.类型6证明线段之间的不等关系12.如图,点P是ABC内任意一点.试说明:PB+PCAB+AC.证明:延长BP交AC于点D,在ABD中,PB+PDAB+AD,在PCD中,PCPD+CD,+得PB+PD+PCAB+AD+PD+CD,即PB+PCPA+PB+PC(AB+BC+CA).证明:延长BP交AC于点D,在ABD中,AB+ADPB+PD,在DPC中,DP+DCPC,AB+AD+DP+DCPB+PD+PC,AB+CAPB+PC.同理AC+BCPA+PB,AB+BCPA+PC,2AB+2AC+2BC2PA+2PB+2PC,即AB+BC+CAPA+PB+PC.又PA+PBAB,PB+PCBC,PC+PACA,2(PA+PB+PC)AB+BC+CA,PA+PB+PC(AB+BC+CA),AB+BC+CAPA+PB+PC(AB+BC+CA).
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