直线的两点式方程.ppt

直线的两点式方程 y kx b y y0 k x x0 k为斜率 P0 x0 y0 为直线上的一定点 k为斜率 b为截距 1 直线的点斜式方程 2 直线的斜截式方程 解 设直线方程为 y kx b 例1 已知直线经过P1 1 3 和P2 2 4 两点 求直线的方程 一般做法 由已知得 解方程组得 所以 直线方程为 y x 2 方程思想 还有其他做法吗 为什么可以这样做 这样做的根据是什么 即 得 y x 2 设P x y 为直线上不同于P1 P2的动点 与P1 1 3 P2 2 4 在同一直线上 根据斜率相等可得 二 直线的两点式方程 已知两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 求通过这两点的直线方程 解 设点P x y 是直线上不同于P1 P2的点 可得直线的两点式方程 kPP1 kP1P2 记忆特点 1 左边全为y 右边全为x 2 两边的分母全为常数 3 分子 分母中的减数相同 推广 不是 是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢 两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线 注意 当x1 x2或y1 y2时 直线P1P2没有两点式程 因为x1 x2或y1 y2时 两点式的分母为零 没有意义 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢 若点P1 x1 y1 P2 x2 y2 中有x1 x2 或y1 y2 此时过这两点的直线方程是什么 当x1 x2时方程为 x x 当y1 y2时方程为 y y 例2 已知直线l与x轴的交点为A a 0 与y轴的交点为B 0 b 其中a 0 b 0 求直线l的方程 解 将两点A a 0 B 0 b 的坐标代入两点式 得 即 所以直线l的方程为 四 直线的截距式方程 截距可是正数 负数和零 注意 不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与x轴的交点 a o 的横坐标a叫做直线在x轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢 截距式直线方程 直线与y轴的交点 0 b 的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 过 1 2 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条 解 两条 例3 那还有一条呢 y 2x 与x轴和y轴的截距都为0 所以直线方程为 x y 3 0 a 3 把 1 2 代入得 设 直线的方程为 举例 解 三条 2 过 1 2 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条 解得 a b 3或a b 1 直线方程为 y x 3 0 y x 1 0或y 2x 设 截距可是正数 负数和零 例4 已知角形的三个顶点是A 5 0 B 3 3 C 0 2 求BC边所在的直线方程 以及该边上中线的直线方程 解 过B 3 3 C 0 2 两点式方程为 整理得 5x 3y 6 0 这就是BC边所在直线的方程 举例 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段 由中点坐标公式可得点M的坐标为 即 整理得 x 13y 5 0这就是BC边上中线所在的直线的方程 过A 5 0 M的直线方程 M 中点坐标公式 则 若P1 P2坐标分别为 x1 y1 x2 y2 且中点M的坐标为 x y B 3 3 C 0 2 M 即M 已知直线l 2x y 3 0 求关于点A 1 2 对称的直线l1的方程 解 当x 0时 y 3 点 0 3 在直线l上 关于 1 2 的对称点为 2 7 当x 2时 y 1 点 2 1 在直线l上 关于 1 2 的对称点为 4 3 那么 点 2 7 4 3 在l1上 因此 直线l1的方程为 化简得 2x y 11 0 思考题 还有其它的方法吗 l l1 所以l与l1的斜率相同 kl1 2 经计算 l1过点 4 3 所以直线的点斜式方程为 y 3 2 x 4 化简得 2x y 11 0 归纳 直线方程的四种具体形式 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x y的二元一次方程表示吗 2 每一个关于x y的二元一次方程都表示直线吗 思考 分析 直线方程二元一次方程 2 当斜率不存在时L可表示为x x0 0 亦可看作y的系数为0的二元一次方程 x x0 0y 0 结论1 平面上任意一条直线都可以用一个关于x y的二元一次方程表示 1 当斜率存在时L可表示为y kx b或y y0 k x x0 显然为二元一次方程 即 对于任意一个二元一次方程Ax By C 0 A B不同时为0 判断它是否表示一条直线 2 当B 0时 因为A B不同时为零 所以A一定不为零 于是方程可化为 它表示一条与y轴平行或重合的直线 结论2 关于x y的二元一次方程 它都表示一条直线 直线方程二元一次方程 由1 2可知 直线方程二元一次方程 定义 我们把关于x y的二元一次方程Ax By C 0 其中A B不同时为0 叫做直线的一般式方程 简称一般式 定义 在方程Ax By C 0中 A B C为何值时 方程表示的直线 1 平行于x轴 2 平行于y轴 3 与x轴重合 4 与y轴重合 分析 1 直线平行于x轴时 直线的斜率不存在 在x轴上的截距不为0 即A 0 B0 C0 2 B 0 A0 C0 3 A 0 C 0 B0 4 B 0 C 0 A0 探究 例1已知直线过点A 6 4 斜率为 求直线的点斜式和一般式方程 解 代入点斜式方程有y 4 x 6 化成一般式 得4x 3y 12 0 举例 例2把直线L的一般式方程x 2y 6 0化成斜截式 求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距 并画出图形 解 化成斜截式方程y x 3因此 斜率为k 它在y轴上的截距是3 令y 0得x 6 即L在x轴上的截距是 6 由以上可知L与x轴 y轴的交点分别为A 6 0 B 0 3 过A B做直线 为L的图形 举例 m n为何值时 直线mx 8y n 0和2x my 1 0垂直 解 1 若两条直线的斜率都存在 则m不等于0 且两条直线的斜率分别为但由于所以两条直线不垂直 2 若m 0 则两条直线中一条直线的斜率为0 另一条斜率不存在 这时两条直线垂直 方程分别为 综上知 m 0 n为全体实数时 两条直线垂直 点评 分类讨论思想的运用 如不分类将找不到正确答案 练习 3 中点坐标 1 直线的两点式方程 2 直线方程的一般式Ax By C 0 小结 直线的截距式方程