现代数字信号处理.ppt

课程名称 现代数字信号处理 研究生课程 081000B209a ModernDigitalSignalProcessing MDSP 授课人 范俊波jerrybfan 13908055139 前修课程 工程数学 信号与系统 数字信号处理 本科 教材 现代数字信号处理RobertoCristi 美 著徐盛等译机械工业出版社 现代数字信号处理 参考资料 1 数字信号处理基础JoyceVandeVegte著 侯正信王国安等译电子工业出版社2 数字信号处理高西全丁玉美编著西安电子科技大学出版社3 期刊杂志 电子学报 电子与信息学报 信号处理 4 DigitalSignalProcessingUsingMATLABVinayK Ingle JohnG Proakis Matlab作为DSP运算与算法描述的一个很有用的标准工具 1 使用很少的几行代码便可完成多数DSP运算 2 很容易产生可用于发表的图形 曲线 3 易于掌握和使用 授课目的与要求 课内授课 课外自学多参考其他书籍 资料掌握基本规律 概念 原理 方法理论与实际相结合 不要求死记硬背能够阅读和理解该领域的文献资料 为后续研究打好基础 考试方式 期末半开卷考试 一 现代数字信号处理的特点精度高 数字系统的精度由字长 A D 决定 14位10 4 17位10 5 可达64位以上 而模拟系统则由元器件精度决定 而元器件精度要做到10 2已是非常困难 灵活性强 系统性能由运算程序 算法 和乘法器的各系数决定 改变程序或系数时系统性能变化 而模拟系统完全由结构及元器件参数决定 可靠性高 采用 0 1 高 低 两个逻辑电平 容错性强 采用DSP芯片设备简化 系统稳定可靠 容易集成 数字电路高度规范性 对电路参数要求不严 适合LSI VLSI 第0章 绪论 多路复用 同时 处理多通道信号 可获得高性能指标 如频谱分析的幅度精度 频率分辨率远高于模拟频谱分析 二维 多维处理 利用数字存储器 处理速度 相对较低 处理信号频率 相对较低 受限于抽样定理 处理时变信号 时频分析 二 现代数字信号处理的学科概貌 现代数字信号处理 经典数字信号处理 离散时间线性移不变系统理论 离散傅立叶变换理论 信号滤波 信号分析 FIR滤波器的设计问题 IIR滤波器的设计问题 离散傅立叶变换 DFT 量化理论 用FFT方法滤波 频谱分析 FIR滤波器的实现 IIR滤波器的实现 硬件 软件 微处理器 频谱分析仪的实现 应用 语音 地震 图象 通信 雷达 声纳 数字信号处理的两个重要方面 信号滤波 滤波器的设计 以突出感兴趣的信号 一些应用 滤除不需要的背景噪声 去除干扰 频带分割 信号分析 信号特性测量 通常是一个频域运算如DFT等 一些应用 频谱分析 信号特征的提取与识别 目标检测 三 现代数字信号处理的实现 在通用计算机上用软件实现 有单片机实现 处理器 利用专门用于信号处理的DSP芯片实现 处理器 利用特殊用途的DSP芯片实现四 现代数字信号处理的应用语音 雷达 声纳 地震 图像 通信系统 系统控制 生物医学工程 机械震动 遥感遥测 地质勘探 航空航天 电力系统 故障检测 自动化仪器等 数字信号处理产业 1997以来 年均增长率为30 网上统计 45 文献统计 近年最大的产业机遇 数字电视 核心技术 数字图像处理 千亿产业 五 应用数字信号处理的两个实例例 数字信号处理实例 语音信号 质量差的语音 经数字信号处理后的语音 例 数字信号处理实例 图像信号 原始图像 加密后的图像 加密后的图像中含有的图像 此问题是密码学和数字图像处理的交叉学科 但主要使用的是数字信号处理技术 第1章 信号与系统基础1 1信号1 定义和分类 信号为何应当被处理 信号是信息的载体 包含有用和无用的信息 信号处理的目的就是从多种多样的信号中提取有用信息或去除无用信息 信号如何表示 信号是一个独立于物理特征的概念 概括了所有信号的具体形式 数学中被抽象为函数x t 其中t物理现象的变化 可以是一个多维变量 一维信号x t 如t表示时间 如典型信号为随时间变化的电压 例 用时间作自变量 麦克风的输出电压信号为时间函数 是一维信号 时间信号 模拟信号 幅度值和时间都是连续的 数字信号 幅度值和时间都是离散的 时域离散信号 幅度值连续 时间是离散的 模拟信号 时域离散信号或数字信号 例 记录音频信号的乙烯密纹唱片 Long Playingrecord LP 和光盘 CompactDisc CD 二维信号x s1 s2 其中s1 s2表示二维空间中的一个坐标点 如典型信号为静止图象中点s1 s2的亮度 三维信号x s1 s2 t 其中s1 s2表示二维空间中的一个坐标点 t为时间 如典型信号为一系列静止图象的时间序列 即视频信号 69帧70帧71帧 例 静止黑白图象 例 视频 数字信号处理方法的种类数字信号处理是指用数字或符号的序列表示信号 通过计算机或专用处理设备 用数字运算的方式处理这些序列 以达到更符合人们要求信号形式 如滤波 变换 增强 压缩 估计 识别 传输 存储等等 信号如何被处理的 模拟方式和数字方式 模拟方式 对应模拟信号 幅度值和时间都是连续的 系统 数字方式 对应时域离散信号 幅度值连续但时间是离散的 或数字信号 幅度值和时间都是离散的 系统 2 离散时间信号 序列 定义 离散时间信号是时间上不连续的一个序列 它只在离散时间上给出函数值 通常用x n 表示 n取值为整数 在n不为整数的地方无定义 0 以上定义对幅度并没有特别要求 可以是有限精度 也可以是无限精度 如要求幅度也为离散的 此时的序列为数字信号 1 2 3 1 序列如何得到 连续信号抽样 数字信号如何得到 序列 幅度 量化编码 A D变换 例 一维信号 声音 x t 经过抽样便可得到一维离散时间序列x n x n x nTs 其中n为整数 Ts为抽样间隔 x t x n 的区别 时间上是否连续或离散 离散序列 模拟信号 抽样器 序列的表示方式 1 用集合符号表示序列序列x n 1 2 3 4 3 2 1 n 0 1 2 3 4 5 6 2 用公式表示 x n a n 0 a 1 n 3 用图形表示 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 3 序列的移位 序列x n m x n m 表示原序列x n 逐次超前 左移 或延时 右移 m位 右移2位 例 序列的移位 3 序列的运算 0 1 2 2 1 3 3 序列的翻褶 序列x n 表示原序列x n 以n 0的纵轴对称翻褶 例 序列的翻褶 序列和 积 例 序列和 卷 积 和 y n x n h n 关于卷 积 和运算常常用于求线性移不变系统输出响应的计算 是数字信号处理中一个十分有用的运算 卷积和运算中存在翻褶 移位 4 几种常用序列 单位抽样 冲激 序列单位抽样 冲激 序列的k步右移位任意序列可用单位抽样序列表示 此式在许多公式推导中十分有用 例 无论序列多复杂都可分解为不同幅度和移位的冲激序列之和 单位阶跃序列矩形序列实指数序列为实数 如果 1 a 0 是何形状 弦波信号及弦波型序列弦波信号 傅立叶分析中连续时间弦波信号是基础 它可看做是任何信号的组成部分 如声音信号是由一系列振动 弦波 合成的 连续时间弦波信号具备周期性 其中 表示周期 单位 秒 或s 周期的倒数是频率 单位 赫兹 或Hz 角频率 单位 弧度 秒 或rad s 角频率 周期 频率 例 某弦波信号的频率F0 250kHz 则其周期 T0 1 250 x10 3s 4x10 6s 4 s 周期 频率 角频率的关系 弦波型序列 可由连续时间弦波信号抽样得到 t Ts代表时间 单位 秒 或s 代表角频率 单位 弧度 秒 或rad s 代表相位 单位 弧度 或rad 定义为数字频率 是没有频率量纲的 它是和频率相关的一个频率度量 F0与Fs表示不同频率 与一般频率概念不同 例 一频率为F0 2kHz的正弦波信号 抽样间隔为Ts 0 1ms 10 4s 那么 抽样频率Fs 104Hz 10kHz 对应弦波序列相应的数字频率为 复指数信号及复指数序列复指数信号 复指数信号比弦波信号具有更好的数学特性 很多重要运算都可转换成线性运算 为复指数信号 差分和积分 信号x t 对时间t求导数和积分 定义为和 对于复指数信号 上述两种运算转换成乘法和除法 时移 序列的时移y n x n L 其中L为整数 如果x n 为复指数序列 那么可以通过乘法获得 复指数信号是差分 积分和时移算子的特征函数 即仅当信号是复指数函数时 上述运算才是线性运算 对其他信号这种关系就不一定成立了 这个特性是大多数信号与系统分析工具的数学变换 如傅立叶变换 拉普拉斯变换 Z变换和其他相关变换等 的基础 多数变换要求复指数信号 真实存在的信号往往是弦波信号 可利用欧拉变换把弦波信号转换成复指数信号 欧拉 Euler 变换 将复指数函数与弦波函数联系起来连续时间和离散时间弦波信号都可表示为复指数信号 无论连续时间还是离散时间复指数信号都可以用幅度A 相位和频率是 模拟频率F0Hz 角频率rad s或数字频率rad 根据下式完全确定 模拟信号的幅频特性 模拟信号的相频特性 单频信号 5 模拟和数字频率 弦波信号 负频率部分具有与正频率部分相同的幅度和相反的相位 实信号含共轭频率 离散弦波信号 负频率部分具有与正频率部分相同的幅度和相反的相位 实序列含共轭频率 对连续时间信号 信号的时域表示和频率表示是一一对应的 即两个不同频率的复指数信号和在时域上是完全不同的 对离散时间序列 信号的时域表示和频率表示不一定是一一对应的 即两个不同频率的复指数离散序列和 当 在时域上是完全相同的 对弦波序列也有同样的结论 即如果两个弦波和其频率和相位满足下列关系中的任何一个 两个弦波序列的所有样值将相同 当频率限制在范围内 两个不同频率的序列将形成两个不同的弦波序列 复指数或弦波序列的频谱具有周期性 2 6 序列的能量和功率序列x n 的能量E定义为序列各项的平方和 有限序列x n 的功率P定义为序列各项的平方和除序列长度 7 序列相关 序列相关 用于测量两序列x n 与y n 的相似度 序列相关 用于测量两序列x n 与y n 的相似度 序列自相关 用于测序列x n 自身的相似度 可用作同步的序列的自相关函数具有类似与冲激序列特征 与卷积和运算类似 但不是翻褶移位 而是仅移位 8 其他有用运算 单边实指数序列 有限长实指数序列 这两个公式在许多公式推导中十分有用 1 2系统1 定义和分类 离散系统定义 系统将输入信号变换为输出信号 输入信号和输出信号之间存在的关系就定义了一个系统 当输入信号和输出信号都是离散信号的系统S称为离散系统 离散系统分为线性系统和非线性系统 数学上定义为一种映射 2 线性系统 若系统满足叠加原理 S称为线性系统 通常用L表示 即 对线性系统 对任一输入其输出可表示为 任意序列的表示 例 系统y n x n x n 1 是线性的吗 设x1 n 和x2 n 为两个独立的输入 y1 n 和y2 n 为两个独立的输出 即x1 n Sy1 n x2 n Sy2 n 若令x n a1x1 n a2x2 n 则系统输出为y n a1x1 n a2x2 n a1x1 n 1 a2x2 n 1 a1 x1 n x1 n 1 a2 x2 n x2 n 1 a1y1 n a2y2 n 则系统为线性系统 对线性系统 如果满足输入输出对时间移位保持不变 则称为线性移不变系统 即系统的特性不随时间变化 即输入移位D 输出移位也为D 3 线性移不变系统 LTI 例 系统输入输出之间的关系y n x n x n 1 该系统是移不变的吗 设x n 为输入 y n 为输出 即x n Sy n 若令x n 延迟L 则相应系统输出y0 n 为y0 n x n L x n L 1 y n L 则系统为移不变的系统 线性移不变系统的输出为线性卷积和 线性移不变系统完全可由系统的冲激响应h n 表征 信号与系统两个概念统一 关于线性卷积和的计算 1 卷积和运算的关键是先翻褶与后移位 2 卷积和的结果比参与运算的两个序列要长设两个序列的长度分别为N和M 则卷积和的长度为 h n 表征系统的时域特性 证 有限长数据向量x x 0 x N 1 与有限长滤波器冲激响应h h 0 h M 1 的线性卷积和为y n 的长度为N M 1 因为满足下面两个条件之一y n 0 当nN 1 M 1时条件2 满足 因此 当0 n N M 2时 y n 0 故y n 的长度为N M 1 x p 0 当pN 1 例 设线性时不变系统的单位脉冲响应h n 和输入序列x n 如下图所示 要求画出y n 的波形 解法一 采用图解法 图解法的过程如下图所示 M 3 N 6 序列反褶 移位 相乘等运算 对相乘后的序列求和 M N 1 8 M 3 N 6 n 1 如计算y 1 应由序列x m 和h 1 m 确定 序列相乘 解法二 采用解析法 按照上图写出x n 和h n 的表达式 因为 所以 将x n 的表示式代如上式 得到 4 线性移不变系统的稳定性 对线性移不变系统 若输入序列是有界的 其输出序列必定是有界的 则系统称为有界输入 有界输出 BIBO 稳定的 稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和 即 例 系统输入输出之间的关系y n x n x n 1 该系统是BIBO稳定的吗 设输入为x n 为有界的 x n A 对所有的n 那么输出y n 为也为有界的 y n x n x n 1 2A 对所有的n则系统为BIBO稳定的系统 例 系统输入输出之间的关系y n 2nx n 该系统是BIBO稳定的吗 设x n 1 则y n 2n当时显然输出y n 趋于无穷 则系统不是BIBO稳定的系统 对线性移不变系统 如果时刻的输出仅取决于及以前的输入 亦既输出的变化不会超前于输入的变化 该系统称为因果 可实现 系统 5 线性移不变系统的因果性 非因果 对线性移不变因果系统 有原因 任何输入信号是冲激信号的移位加权和 例 系统输入输出之间的关系y n 2x n 1 是因果的吗 输出y n 仅依赖于过去时间的输入信号 所以系统是因果系统 例 系统输入输出之间的关系y n 2x n 1 x n 1 是因果的吗 输出y n 还依赖于将来时间的输入信号 所以系统是非因果系统 1 y n 2x n 3解 令 输入为x n n0 输出为 因故该系统是时不变的 又因为故该系统是非线性系统 不满足线性叠加原理 例设系统分别用下面的差分方程描述 x n 与y n 分别表示系统输入和输出 判断系统是否是线性时不变的 其他例子 2 y n x n n0 n0为整常数 解 这是一个延时器 延时器是一个线性时不变系统 下面予以证明 令输入为 输出为因为 故延时器是一个时不变系统 又因为 故延时器是线性系统 3 y n x n sin n 解 令输入为 输出为因为 故系统不是一个时不变系统 又因为 故系统是线性系统 例给定下述系统的差分方程 试判定系统是否是因果 稳定系统 并说明理由 解 1 只要N 1 该系统就是因果系统 因为输出只与n时刻和n时刻以前的输入有关 如果 x n M 则 y n M 因此系统是稳定系统 2 如果 x n M 因此系统是稳定的 系统是非因果的 因为输出还和x n 的将来值有关 3 当n0 0时 系统是非因果系统 因为n时刻输出和n时刻以后的输入有关 当n0 0时 系统是因果系统 如果x n M y n M 因此系统是稳定的 因果性 输出只与n时刻和n时刻以前的输入有关 稳定性 如果 x n M 输入有界 有 y n M 输出有界 练习题 某因果系统的差分方程为y n ay n 1 0 15y n 2 x n 且它的冲激响应h n 的前三个 n 0 1 2 样值为 1 0 8 0 49 求参数a的值 练习题 判断如下说法是否正确 任何数字系统的输出都为输入序列和其冲激响应序列的线性卷积和 练习题 已知某系统的单位抽样响应 A 因果稳定系统 B 因果非稳定系统 C 非因果稳定系统 D 非因果非稳定系统 则该系统是 A 练习题 系统输入序列 和输出序列 满足差分方程 则该系统是 C A 线性移不变系统 B 非线性移不变系统 C 线性移变系统 D 非线性移变系统 6 序列的Z变换 ZT 一 Z变换的定义定义 序列x n 的Z变换X z 定义为 收敛域 使上不等式成立的 z 值范围称为Z变换的收敛域 ROC 用Rx z Rx 表示 Z平面环状区域 几种序列的收敛域 有限长序列 在n1 n n2范围外 x n 0 除当n10时 z 0处外 X z 在所有区域收敛 至少是0 z 可能包括z 0或z 例 极点阶数的概念 例 右边序列 在n n1时 x n 0 若n1 0 因果 在z 收敛 若n1 0 在z 不收敛 其收敛域为一个半径为Rx 的圆外部分 但可能不包含z 零 极抵消 例 x n anu n 该序列为因果序列 那么因为几何级数收敛的条件是自变量模值收敛域小于1 所以上式的收敛域为 左边序列 在n n2时 x n 0 若n2 0 则在z 0处收敛 其收敛域为一个半径为Rx 的圆内部分 但可能不包含z 0 例 x n anu n 1 该序列为非因果序列 那么上面两个序列的Z变换的形式基本相同 除负号外 但收敛域相差很大 变量代换n m 双边序列 一个左边序列与一个右边序列之和 收敛域应在两个序列Z变换收敛域的公共区域 Rx z Rx 例 x n 0 8 n 该序列为因果序列和非因果序列之和 那么收敛域为两个序列收敛域的交集 例 x n 1 该序列为因果序列和非因果序列之和 那么收敛域为两个序列收敛域的交集 交集是空集 故Z变换不存在 例求以下序列的Z变换及其收敛域 并在Z平面上画出极 零点分布图 解 1 零 极点图和收敛域如右图所示 图中z 1处的零 极点相互对消 Z变换的定义 零极点定义 2 令则 因为 那么 极点为 z1 0 z2 1 零点为 zk k 0 1 2 3在z 1处的极 零点相互对消 收敛域为0 z 极 零点分布图如右图所示 宽度度为2N的三角形序列可用两个宽度为N的矩形序列相卷积得到 Z变换性质 二 逆Z变换已知Z变换和收敛域可求出序列 有三种求逆Z变换的方法 长除法部分分式法留数法对于Z变换 必须涉及到收敛域ROC 相同的Z变换若收敛域不同 则对应的序列不同 c为收敛域内逆时针的闭合曲线 1 留数法 其中c是收敛域中一条逆时针的闭合曲线 收敛域是以极点为边界形成的环状区域 围线积分可采用复变函数的柯西留数定理计算出来 在极点处F z zn 1X z 的留数 不是X z 的留数 为对简单极点 一阶 对r阶极点 例已知求出对应X z 的各种可能的序列表达式 解 X z 有两个极点 z1 0 5 z2 2 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有以下三种情况 z 0 5 0 5 z 2 2 z 三种收敛域对应三种不同的原序列 1 当收敛域 z 0 5时 对应左边序列 令 2 当收敛域0 5 z 2时 对应双边序列 n 0时 F z 在c内有极点0 5 最后得到 n 0时 F z 在c内有极点0 5 0 但0是一个n阶极点 改成求c外极点留数 c外极点只有一个 即2 3 当收敛域2 z 时 对应右边序列 n 0时 F z 在c内有极点0 5 2 n 0时 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此x n 0 或者这样分析 c内有极点0 5 2 0 但0是一个n阶极点 改求c外极点留数 c外无极点 所以x n 0 最后得到 2 部分分式法 其中C1 C2 CN是常数 一般为复数 假设所有极点都为一阶极点 Ci可由下式计算 上式中极点都是一阶的 将X z 代入上式对包含Ci的部分 只留下Ci 其他部分为零 假设含有r重极点z1 即 系数Bj可由下式计算 当X z 部分分式展开后 可逐项求出其逆z变换 从而获得x n 其中每一项都需要根据ROC决定是选择因果还是非因果序列 例 若序列的Z变换如下 用部分分式法求该序列解 根据部分分式展开其中 因此每个形如z z a 的部分对应因果序列anu n 或非因果序列 anu n 1 由于给定的ROC为1 z 2 因此 三 Z变换的性质 收敛域为公共区域 利用Z变换的性质 可不用求卷积和便可计算出LTI系统的输出 例 若LTI系统的冲激响应h n 0 5 n 输入为x n u n 求输出y n 解 所以 卷积和定理 z 2 z 0 5 将上式按部分分式展开 输出信号为 7 系统函数 频率响应与冲激响应的关系定义 离散系统单位冲激响应h n 的Z变换称为系统函数 若系统函数的收敛域包含单位园 即Rx 1 Rx 则系统是BIBO稳定的 绝对可和 单位园 定义 离散系统单位冲激响应h n 的DTFT称为系统函数 以后介绍 单位园上计算出的系统函数是系统的频率响应 单位园上收敛 则当z ej 时 Z变换与傅立叶变换DTFT相等 单位园 单频信号 对于一个复指数序列 当经过一个BIBO稳定的LTI系统 Z变换收敛域包含单位圆 其输出 复指数函数是LTI系统的特征函数 因为它的输出除了乘上一个特征值外 形式与输入信号完全相同 系统的频率响应是以2 为周期的函数 仅需要用一个周期 数字频率 便能表述所有的信息 例 一因果系统的传输函数输入信号试确定其输出信号y n 解 该系统因果且所有极点在单位圆内 故收敛域包含单位圆 例 假设系统不变 输入信号为正弦波试确定其输出信号y n 解 余弦信号为两个复指数信号之和 则 欧拉变换 幅频相应 相频相应 LTI系统的频率响应函数反映了系统是如何对各个不同频率信号成分产生作用的 由于所有信号在频域可以表示为若干信号的求和形式 干扰信号也有类似的表示 滤波器设计的一个目的就是要去除或抑制干扰 8 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 系统函数可分解成下列形式 ci 是H z 在Z平面的零点 使H ci 0 dj 是H z 在Z平面的极点 使H dj H z 的收敛域是以极点为边界 但不包含这些极点的环形区域 1 系统因果可实现 满足h n 0 n 0 单位冲激响应为因果右边序列 其Z变换的收敛域定包括 点 收敛域是圆外的Z平面 2 系统稳定 要求单位冲激响h n 应绝对可和 对照Z变换定义 H z 的收敛域包含单位圆 若收敛域包含单位圆 系统一定稳定 系统是稳定的 收敛域包含单位园的环形区域 系统是因果的 收敛域是以通过离原点最远极点的园外区域 系统是因果且稳定的 所有极点在单位园内 9 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性对LTI系统 其差分方程 其系统函数 系统可用零点zi 极点pi和增益K来描述 Z平面 两边求Z变换 利用序列移位性质 再求H z Y z X z 矢量差 系统频率响应H ej 的幅度函数和相位函数可用下式计算 图解法 其中 q为单位圆上的点 对应角频率 q ej 矢量差的长度 所有极点到q距离积除以所有零点到q距离积 1 系统函数的零点z1 ej 1在单位圆上 2 系统函数的极点p1 ej 1非常靠近单位圆 从稳定性考虑 不能在单位圆上 接近于1 那么 在 1处 ej p1 非常小 所以幅度频率响应值非常大 零点的位置主要影响频响的谷点位置及形状 用于限制特定频率通过 极点的位置主要影响频响的峰值及尖锐程度 用于突出特定频率通过 3 系统函数原点处的零或极点 由于零点矢量或者是极点矢量的长度始终为1 因此原点处的零极点不影响频率响应 例 已知H z z 1 分析其频率特性 解 由H z z 1 可知极点为z 0 幅度特性 H ej 1 相位特性 如下图所示 4 系统函数的零极点对 在单位圆上有零点z1 ej 1 非常靠近单位圆上有极点p1 ej 1 矢量 q p1 和 q z1 几乎相同 零点和极点的作用几乎抵消 但可改善尖锐度 为什么 例 假设一音频序列s n 抽样频率为Fs 12KHz 它受到一窄带 非常接近弦波的信号 信号w n 的干扰 如下图所示 设计一滤波器来消除这个干扰 解 信号的频谱范围0 6KHz 抽样后不会有混叠 干扰的频率为F0 1 5KHz 1 频率指标的确定 因为要滤除干扰 滤波器的理想频率响应为 满足奈奎斯特抽样定理 其中 0 2 F0 Fs 4弧度 它是干扰的数字频率 2 零点和极点的确定 在单位圆上设置零点z1 ej 0 ej 4和z2 e j 0 e j 4 如令极点p1 p2 0和K 1 那么系统函数 为保证滤波器为实系数 零 极点需共轭设置 若a b为实数 则 z a jb z a jb z2 2az a2 b2所有系数为实数 由上图可见 该滤波器也让 0附近的信号严重失真 如果选择极点靠近零点且全部在单位圆内部 即p1 0 95ej 0 0 95ej 4和p2 0 95e j 0 0 95e j 4和K 0 9543 那么系统函数 为保证稳定 极点一定在单位圆内 由上图可见 该滤波器性能改善了很多 零极点近似对消的作用 3 时域差分方程的确定 滤波后信号的频谱 滤波前 滤波后 例已知H z 1 z N 试定性画出系统的幅频特性 解 零 极点图和收敛域 幅度频率响应如下图所示 0 2 Re z jIm z 1 1 2 N Z平面 梳状滤波器 N个零点 N阶极点 例设线性移不变系统的系统函数H z 为 1 在z平面上用几何法证明该系统是全通网络 即 2 参数a如何取值 才能使系统因果稳定 画出极 零点及收敛域 解 1 假设a 0 6 极 零点分布图如右图所示 等于极点矢量的长度除零点矢量的长度 按右图得到 因为 公用 又因为 z 2 只有选择 a 1使收敛域在不包含该极点的圆外才能使系统因果稳定 如设 a 0 6 极 零点分布图及收敛域如下图所示 或者按照余弦定理证明 稳定 极点单位圆以内 1 3离散时间信号的傅立叶分析 各种傅立叶分析方法时间域频域周期连续函数傅立叶级数FS 离散 非周期 非周期连续函数傅立叶变换FT 连续 非周期 非周期离散序列离散时间傅立叶变换DTFT 连续 周期 周期离散序列离散傅立叶级数DFS 离散 周期 有限长离散序列离散傅立叶变换DFT 离散 周期 规律 时 频频 时周期离散非周期连续 如正弦信号 如话音信号 如采样信号 如正弦序列 1 周期信号 1 现实中很多信号都存在周期性 如振动信号 电磁波等 2 周期信号可以认为是由各种不同频率的弦波信号组成 这点正是傅立叶分析的目的所在 定义 如果对所有的n存在一个最小的正整数N 满足x n x n N 则x n 是周期序列 周期为N 证 例 如果时域离散线性移不变系统 LTI 的单位脉冲响应为h n 输入x n 是以N为周期的周期序列 试证y n 亦是以N为周期的周期序列 线性移不变 例 因为x n 以N为周期 所以x n kN m x n m 即y n 也是周期序列 且周期为N 周期性 一般弦波序列的周期性 设 若那么则要求 2 周期信号的展开 离散傅立叶级数 DFS 基信号 选择一组复指数序列作为基信号原因 1 复指数序列是线性移不变系统 LTI 的特征函数 借助频率响应可非常容易地获得响应的输出 2 对N而言 基信号都是周期的 因为对所有的n满足3 基信号相互正交 因为对所有的n0满足 N 如果k m 周期信号的展开 将周期信号x n 号展开为N个复指数基信号之和 式中N个系数a0 aN 1可利用复指数信号的正交性来计算因此 系数ak可按下式计算 若令X k Nak 可获得周期离散信号的傅立叶级数 DFS 表示对 DFS和IDFS分别表示离散傅立叶级数和反傅立叶级数 由于x n 和X k 具有周期性 n0和k0的取值与最终结果无关 例 一个周期为N 10的序列定义如下 它被称为方波序列 计算离散傅立叶级数DFS 该方波序列可表示为若干个复指数信号之和 其中利用了ej7 5 n e j3 5 n和ej9 5 n e j 5 n 例 一时域离散线性移不变系统 LTI 的差分方程描述为 则其系统函数和频率响应为 如果输入上例的方波信号 其输出也为周期10的信号 输出的DFS为 时域卷积和对应频域乘 H k 对DFS进行反变换可获得输出序列y n 的一个周期 如下图所示 3 有限长信号的展开 离散傅立叶变换 DFT 一个有限长离散信号可看作一个周期信号的一个周期 从DFS的时域和频域中各抽出一个周期 便可得到时域有限长离散信号和频域有限长序列之间的傅立叶变换关系 称为离散傅立叶变换 DFT 有限长序列的一种傅立叶表示 令 上面的变换对可写成 DFT说明任何长度为N的序列x n 可以展开为若干复指数信号ej n之和 它们的频率分别为 0 2 N N 1 2 N 例 一有限长序列如下图所示 其DFT与上例周期信号的DFS相同 DFT是傅立叶变换家族中唯一能进行数值计算的 有很多高效算法 如快速傅立叶变换 FFT 4 一般信号的展开 离散时间傅立叶变换 DTFT 任何一个非周期无限长离散信号可看作一个周期无限长的信号 即无限长信号x n 是周期序列xN n 当N趋于无限时的极限考察xN n 的一个周期 N 2 n N 2 由DFS可得DFS序列XN k 可看作是一个周期内连续函数XN ej 的抽样 根据IDFS的定义 当时 可得 其中 2 N 根据黎曼积分理论 上述极限收敛于如下积分 上述两个公式给出了离散时间信号x n 展开成复指数信号ej 的形式 而X ej 是以2 为周期的 因此 将积分限移位 定义离散时间傅立叶变换 DTFT 和其逆变换 IDTFT 为 例 下图为一矩形序列 其DTFTX ej 可如下计算 利用1 e j M 2ej M 2和e j M e j M 2e j M 2 则 幅度谱 X ej 如下图所示 DTFT 主瓣 旁瓣 5 复指数序列和正弦序列的DTFT当信号本身就是一个复指数信号 x n ej 0n 0 时 其DTFT不收敛 此时它的DTFT的表达式如下 右边的求和项发散 因为当 0时 当 0时 右边的求和项也都不收敛 为定义复指数信号的DTFT 必须借助于Dirac函数 其定义如下 这样便 归纳上述结论 对弦波信号也可得出相似结论 6 DTFT与Z变换的比较信号x n 的DTFT和Z变换的表达式非常相似 但两种变换之间也存在差异 1 X ej 和X z 都存在 只有当单位圆 z 1在收敛域中时 才有 例 x n 0 5nu n 其Z变换X z z z 0 5 z 0 5 单位圆在收敛域内 此时 2 X ej 和X z 都存在 但两者不同 当单位圆 z 1不在收敛域中 两者之间不能用z ej 联系 例 x n u n 其z变换X z z z 1 z 1 单位圆不在收敛域内 此时 3 X z 不存在 但X ej 存在 前面x n ej 0n就是这种情况 4 X z 存在 但X ej 不存在 例如x n anu n 且 a 1 其Z变换X z z z a 且 z a 1 5 X z 和X ej 都不存在 例如x n a n 且 a 1 1 4连续时间信号的傅立叶分析 连续时间信号的傅立叶分析要求同学们课外复习