特征函数和矩母函数.ppt

一 矩母函数 矩母函数和特征函数 1 定义 称的数学期望 为随机变量X的矩母函数 2 原点矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩 即对逐次求导 并计算在点的值 3 和的矩母函数 定理1 设相互独立的随机变量的矩母函数分别为 则其和 的矩母函数为 4 母函数定义 设X是非负整数值随机变量 分布律P X k pk k 0 1 则称为X的母函数 性质 1 非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P s 唯一确定 2 设P s 是X的母函数 若EX存在 则EX P 1 若DX存在 则DX P 1 P 1 P 1 2 3 独立随机变量之和的母函数等于母函数之积 4 若X1 X2 是相互独立同分布的非负整数值随机变量 N是与X1 X2 独立的非负整数值随机变量 则的母函数H s G P s EY ENEX1其中G s P s 分别是N X1的母函数 证明 1 2 设离散型非负整数随机变量X Y的分布律分别为P X k pk P Y k qk k 0 1 则Z X Y的分布律为P Z k ck 其中ck p0qk p1qk 1 pkq0设X Y Z的母函数分别为PX s PY s PZ s 即有 3 4 欧拉公式 二 特征函数 1 特征函数 设X为随机变量 称复随机变量的数学期望 为X的特征函数 其中t是实数 还可写成 分布律为P X xk pk k 1 2 的离散型随机变量X 特征函数为概率密度为f x 的连续型随机变量X 特征函数为 对于n维随机向量X X1 X2 Xn 特征函数为 性质 1 2 在 上一致连续 3 若随机变量X的n阶矩EXn存在 则 k n当k 1时 EX 当k 2时 DX 4 是非负定函数 5 若X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 则X X1 X2 Xn的特征函数为 6 随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定 如果随机变量X为连续型 且其特征函数绝对可积 则有反演公式 相差一个负号的傅立叶逆变换 相差一个负号的傅立叶变换 例1 设随机变量X服从参数为的泊松分布 求X的特征函数 解 由于 所以 麦克劳林公式 例2 设随机变量X服从 a b 上的均匀分布 求X的特征函数 解 X的概率密度为 所以 例3 设X服从二项分布B n p 求X的特征函数g t 及EX EX2 DX 解 X的分布律为P X k q 1 p k 0 1 2 n 例4 设X N 0 1 求X的特征函数 解 例5 设随机变量X的特征函数为gX t Y aX b 其中a b为任意实数 证明Y的特征函数gY t 为 证 例6 设随机变量Y N 2 求Y的特征函数为gY t 解 X N 0 1 X的特征函数为设Y X 则Y N 2 Y的特征函数为 三 常见随机变量的数学期望 方差 特征函数和母函数