随机数的生成及随机变量抽样ppt课件

实验目的 实验内容 学习主要的随机变量抽样方法 1 均匀分布随机数的产生2 其他分布随机数的产生方法3 随机数生成实例4 实验作业 随机数的生成及随机变量抽样 1 随机数的产生是实现MC计算的先决条件 而大多数概率分布的随机数的产生都是基于均匀分布U 0 1 的随机数 首先 介绍服从均匀分布U 0 1 的随机数的产生方法 其次 介绍服从其他各种分布的随机数的产生方法 以及服从正态分布的随机数的产生方法 随机数的生成 2 产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语言的书都可以看到 算法简单 容易实现 使用者可以自己手动编程实现 Matlab中也提供给我们用于产生均匀分布的函数 我们的重点是怎样通过均匀分布产生服从其他分布的随机数 均匀分布U 0 1 的随机数的产生 3 例1生成1行10000列的均匀分布U 0 1 的随机数 并画经验分布函数曲线 Randnum unifrnd 0 1 1 1000 cdfplot Randnum 4 基本方法有如下三种 逆变换法复合抽样方法筛选法 随机数的产生方法 5 设随机变量X的分布函数为F x 定义F 1 y inf x F x y 0 y 1定理设随机变量U服从 0 1 上的均匀分布 则X F 1 U 的分布函数为F x 因此 要产生来自F x 的随机数 只要先产生来自U 0 1 的随机数 然后计算F 1 u 即可 其步骤为 逆变换法 直接抽样方法 6 对于任意离散型分布 其中x1 x2 为离散型分布函数的跳跃点 p1 p2 为相应的概率 即一离散随机变量X 它可能的取值分别为x1 x2 取这些值的概率分别为p1 p2 该随机变量X的分布为F x 1 离散型分布的直接抽样方法 7 根据前述直接抽样法 即 即 inf x F x u 其中令 8 为了实现由任意离散型分布的随机抽样 直接抽样方法是非常理想的 9 掷骰子点数X xi x1 1 x2 2 x3 3 x4 4x5 5 x6 6 而且随机变量X取值的概率为 按照离散分布的直接抽样 1 由U 0 1 抽取u选取均匀随机数u 如则 例2 掷骰子点数的抽样 10 等价于 例2 掷骰子点数的抽样 由于 也可使用如下更简单的方法 11 functiondiscreterandom liti41 mm Random unifrnd 0 1 1 mm fori 1 mmif floor 6 Random 1 i 6 Random 1 i Random 1 i 6 Random 1 i elseRandom 1 i floor 6 Random 1 i 1 endendcdfplot Random 12 13 例3生成1行1000列的1 10上离散均匀分布的随机数 并画经验分布函数曲线 生成1行1000列21 30上离散均匀分布的随机数 并画经验分布函数曲线 生成1行1000列501 510上离散均匀分布的随机数 并画经验分布函数曲线 functionRandom liti42 mm Random unifrnd 0 1 1 mm fori 1 mmif floor 10 Random 1 i 10 Random 1 i Random 1 i 10 Random 1 i elseRandom 1 i floor 10 Random 1 i 1 endend cdfplot liti42 1000 cdfplot liti42 1000 20 cdfplot liti42 1000 500 14 15 对于连续型分布 如果分布函数F x 的反函数F 1 x 能够解析表示 则直接抽样方法是 2 连续型分布的直接抽样方法 16 在 a b 上均匀分布的分布函数为 则 1 由U 0 1 抽取u 例4 在 a b 上均匀分布的抽样 17 指数分布为连续型分布 其一般形式如下 其分布函数为 则 1 由U 0 1 抽取u因为1 u也是 0 1 上均匀随机数 可将上式简化为 例5 指数分布 18 Randnum 2 log unifrnd 0 1 1 1000 cdfplot Randnum 例6 产生指数分布 的随机数 19 20 例7设X分布函数为F x X1 Xn独立且与同分布 试 设X FX x Y FY y 且相互独立 M max X Y N min X Y 求M N的分布函数 21 推广至相互独立的n个随机变量的情形 则 22 当X1 Xn相互独立且具有相同分布函数F x 时 有 FM z F z nFN z 1 1 F z n 23 需要指出的是 当X1 Xn相互独立且具有相同分布函数F x 时 常称 M max X1 Xn N min X1 Xn 为极值 由于一些灾害性的自然现象 如地震 洪水等等都是极值 研究极值分布具有重要的意义和实用价值 24 例8设系统L由相互独立的n个元件组成 连接方式为 串联 并联 如果n个元件的寿命分别为 且 求在以上2种组成方式下 系统L的寿命X的密度函数 25 解 1 26 2 27 例9设Xi分布函数为 生成n 20的1行10000列随机数 并画经验分布函数曲线 28 n 20Randnum 1 1 unifrnd 0 1 1 10000 1 n cdfplot Randnum 29 设密度函数为 作业 为常数 n 2 期望 5 30 连续性分布函数的直接抽样方法对于分布函数的反函数容易实现的情况 使用起来是很方便的 但是对于以下几种情况 直接抽样法是不合适的 分布函数无法用解析形式表达 因而无法给出反函数的解析形式 分布函数有解析形式 但是反函数的解析形式给不出来 反函数有解析形式 但运算量很大 下面叙述的抽样方法是能够克服这些困难的比较好的方法 31 复合抽样方法的基本思想是由kahn提出的 考虑如下复合分布 复合抽样方法 其中f2 x y 为给定Y y时X的条件密度 F1 y 为Y的分布函数 对于以上复合分布的抽样方法为 首先从分布F1 y 中抽样YF1 然后再从密度函数f2 x YF1 中抽样确定Xf2 x YF 32 在实际问题中 经常有这样的随机变量 它服从的分布与某随机变量的取值有关 而该随机变量服从一确定分布 例如 概率密度这是一个复合分布 其中fn x 为与n有关的概率密度 pn 0 n 1 且设Y为一离散型随机变量 它可能的取值为1 2 n 取这些值的概率分别为p1 p2 pn 特殊复合分布 33 离散型随机变量Y的分布函数为 fn x 为给定Y n时X的条件密度 该复合分布f x 的抽样方法为 首先从离散分布F y 中抽样N 然后再从密度函数fN x 中抽样确定XfN 34 如果X的密度函数f x 难于抽样 而X关于Y的条件密度函数f2 x y 以及Y的分布F1 y 均易于抽样 则X的随机数可如下产生 可以证明由此得到的Xf2 x YF 服从f x 总之 35 设有X的密度函数为 它相当于 设Y为离散型随机变量 取1 2两个值 取1的概率为0 3 取2的概率为0 7 当Y取1时 X的条件密度函数为f x Y 1 2e 2x x 0 当Y取2时 X的条件密度函数为f x Y 2 e x x 0 例10混合分布抽样 36 分布密度函数 的抽样方法为 首先从Y的离散分布中抽样N N 1或2 根据 得 37 即 Y为离散型随机变量 取1 2两个值 取1的概率为0 3 取2的概率为0 7 38 分布密度函数 的抽样方法为 所以从f x 的抽样如下进行 从U 0 1 中抽取u 39 画f x 对应的分布函数图 ezplot F x a b 表示在a x b绘制显函数F x 的函数图 其中 生成的10000个随机数 画经验分布函数 并画分布函数曲线 40 functionliti43 mm R unifrnd 0 1 mm 1 R1 exprnd 0 5 mm 1 R2 exprnd 1 mm 1 xR zeros mm 1 forii 1 mmifR ii 1 0 3xR ii 1 R1 ii 1 elsexR ii 1 R2 ii 1 endendcdfplot xR holdonezplot 0 7 1 exp x 0 3 1 exp 2 x 0 10 holdoff 41 Liti43 100 42 Liti43 1000 43 Liti43 10000 44 指数函数分布的一般形式为 例11指数函数分布的抽样 则 使用复合抽样方法 抽取服从该分布的样本 引入如下两个密度函数 45 对应分布函数为 使用复合抽样方法 首先从f1 y 中抽取y 从U 0 1 中抽取u 令 46 生成10000个随机数 画经验分布函数 n 5 指数分布 均值为1 y 再由f2 x yf1 中抽取xf 47 functionliti44 n mm R1 unifrnd 0 1 mm 1 R2 unifrnd 0 1 mm 1 x zeros mm 1 y 1 R1 1 n x log R2 ycdfplot x 使用复合抽样方法 首先从f1 y 中抽取y再由f2 x yf1 中抽取X functionliti44 n mm R1 unifrnd 0 1 mm 1 x zeros mm 1 y 1 R1 1 n x exprnd 1 y cdfplot x 48 Liti44 5 10000 49 定理设X的密度函数f x 且f x ch x g x 其中0 g x 1 c 1 h 是一个密度函数 令U和Y分别服从U 0 1 和h y 则在U g Y 的条件下 Y的条件密度为 筛选抽样 50 筛选抽样 假设我们要从f x 抽样 如果可以将f x 表示成f x ch x g x 其中h 是一个密度函数且易于抽样 而0 g x 1 c 1是常数 则X的抽样可如下进行 51 例12令圆半径为R0 该圆上的点到圆心的距离为r r的密度函数为分布函数为容易知道 该分布的直接抽样方法是 生成10000个随机数 画经验分布函数 52 functionliti15 1 R0 mm R unifrnd 0 1 mm 1 x R0 sqrt R cdfplot x 53 Liti15 1 3 10000 54 由于开方运算在计算机上很费时间 该方法不是好方法 下面使用筛选抽样方法 取则抽样框图为 55 显然 没有必要舍弃u1 u2的情况 此时 只需取就可以了 亦即 生成10000个随机数 画经验分布函数 56 functionliti15 2 R0 mm R1 unifrnd 0 1 mm 1 R2 unifrnd 0 1 mm 1 x zeros mm 1 forii 1 mmifR1 ii 1 R2 ii 1 x ii 1 R0 R2 ii 1 elsex ii 1 R0 R1 ii 1 endendcdfplot x 57 Liti15 2 3 10000 58 例13生成单位圆内均匀分布的10000个随机数 并画散点图 相当于 1 1 1 1 上均匀分布 59 例13 生成单位圆内均匀分布的1行10000列随机数 并画散点图 mm 10000 xRandnum zeros 1 mm yRandnum zeros 1 mm ii 1 whileii mmRandnum1 unifrnd 1 1 Randnum2 unifrnd 1 1 s Randnum1 2 Randnum2 2 ifs 1 xRandnum 1 ii Randnum1 yRandnum 1 ii Randnum2 ii ii 1 endendplot xRandnum yRandnum 60 61 随机向量的抽样有以下方法 1 筛选抽样法 定理设 X Y 的密度函数为f x y 且f x y ch x y g x y 其中0 g x y 1 c 1 h x y 是一个密度函数 令U和Z Xh Yh 分别服从U 0 1 和h x y 则在U g Z 的条件下 Z的条件密度为 随机向量的抽样方法 62 假设我们要从f x y 抽样 如果可以将f x y 表示成f x y ch x y g x y 其中h 是一个密度函数且易于抽样 而0 g x y 1 c 1是常数 则从f x y 中的抽样可如下进行 筛选抽样 63 若X Y相互独立 分布函数分别为FX x FY y 则从FX x 中抽样x 从FY y 中抽样y 得到二维随机变量 X Y 的抽样 x y 分量X与Y相互独立时 随机向量 X Y 的抽样 64 对于二维随机向量 X Y 的密度函数f x y 总可以将其表示如下其中fl x f2 y x 分别为X的边缘密度函数和给定X x条件下Y的条件密度函数 即 按照条件分布 抽取随机向量 X Y 的样本 65 根据上述边缘密度函数和条件密度函数 二维分布f x y 的抽样方法为 首先由fl x 中抽取xf1 再由f2 y xf1 中抽样yf2 xf1 yf2 就是该二维分布的一个抽样 66 将f x y 写为其中用直接抽样方法分别从fl x 抽样xf1 再从f2 y xf1 中抽样yf2 得到 例14对下面二维分布进行抽样 67 functionliti16 mm R1 unifrnd 0 1 mm 1 R2 unifrnd 0 1 mm 1 x 1 R1 y R1 log R2 plot x y axis 0 010010 holdonholdoff 68 liti16 1000 69 球内均匀分布抽样 设球壳内半径为R0 外半径为R1 点到球心的距离为r 则r的分布密度函数为分布函数为该分布的直接抽样方法是 作业1 70 为避免开立方根运算 作变换 则x 0 1 其分布密度函数为 其中 生成10000个随机数 并画散点图 71 2 生成单位球内均匀分布的1行10000列随机数 并画散点图 72