变换矩阵ppt课件

第4章图形变换的矩阵方法 要求 1 掌握各种图形变换的变换矩阵 2 掌握图形变换矩阵的一般形式 3 掌握齐次坐标表示法 计算机产生图形的过程大致可分为三步 计算机对图形数据进行处理 就是图形处理 图形变换 就是要变换图形的几何关系 即改变顶点坐标 同时保持图形的原拓扑关系不变 一般来说 图形从输入到输出贯串着各种变换 被描述的对象所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的 不仅位置不同 大多数情况下 尺寸也很不相同 这就要求协调二者的关系 此外 三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换 为了从不同的方向去观察对象 要求能对对象作旋转变换 放大缩小和平移变换更是经常要用的 绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容 用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置 本章学习实现上述功能的算法 1 图形变换 几何变换 投影变换 又称坐标变换 它是将点集的坐标变换达到改变位置 形状 几何变换 基本变换 组合变换 上述变换的连续实施 投影变换 正投影变换 斜投影变换 中心变换 斜轴测图 线框图的变换 通常以点变换为基础 把图形的顶点作一系列的几何变换后 连接新的顶点系列即可产生新的图形 用参数方程描述的图形的变换 通过参数方程作几何变换实现 我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换 重点讨论线框图的变换 透视图 由于显示器和绘图机只能用二维空间来表示图形 要显示三维图形就要用投影方式来降低其维数 2 1 二维平面上点的表示法 改变顶点坐标 也就是对向量的变换 向量运算必须用矩阵运算来实现 2 图形变换的矩阵表示 一对坐标 x y 一个向量 xy 设 点P x y 点P x y 其数学表达方法 矩阵表达方法 4 1二维图形变换 3 就是将图形放大或缩小的变换方法 变换式为 讨论 1 Sx Sy 1 点的位置 图形形状不变 又称恒等变换 2 Sx Sy 1 点的位置变了 图形放大了Sy倍 3 Sx Sy 1 点的位置变了 图形缩小了Sy倍 图形变化 原有图形放大或缩小的变换 参数值 主对角线上元素至少有一个不为1 次对角线上元素全为0 4 Sx Sy 图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换 4 1 1比例变换 4 4 1 2对称变换 5 2 关于y轴的对称变换 3 关于45度平分线的对称变换 4 关于 45度平分线的对称变换 5 关于坐标原点的对称变换 1 关于x轴的对称变换 6 沿x轴方向的错切变换 沿y轴方向的错切变换 1 沿X轴方向的错切变换 4 1 3错切变换 1 变换过程中 点的y坐标保持不变 而x坐标值发生线性变化 2 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴 3 平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段 4 X轴上的点在变换过程中保持不变 其余点在变换后都平移了一段距离 7 1 变换过程中 点的x坐标保持不变 而y坐标值发生线性变化 2 平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴 3 平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段 4 Y轴上的点在变换过程中保持不变 其余点在变换后都平移了一段距离 2 沿Y轴方向的错切变换 8 其矩阵表示法 4 1 4绕坐标原点的旋转变换 9 变换过程为 变换矩阵为 如变换矩阵改为 则点的坐标 x y x y 1 P P T 4 1 5平移变换 10 它是用一个n 1维向量表示一个n维向量的方法 如 二维点 xy 用 XYH 表示 如 空间点 xyz 用 XYZH 表示 正常化齐次坐标 怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标 H可以任意选取 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系 如二维平面上的一点 3 4 用齐次坐标表示为 3 4 1 6 8 2 1 5 2 0 5 通常将H 1的齐次坐标称为 齐次坐标表示点 可以防止溢出 能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述 4 1 6齐次坐标与变换通式 11 4 1 7二维图形变换矩阵的一般形式 二维图形变换矩阵的通式T 12 1 复合平移 2 复合比例 组合变换 由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换 又称基本变换的级连 4 1 8二维组合变换 13 3 复合旋转 14 先平移 再旋转 先旋转 再平移 级联的顺序不同 最终的图形不同 由于矩阵乘法不满足交换率 4 级联顺序对组合变换的影响 15 3 将图形从原点平移到p m n 1 将图形从点p m n 平移到原点O 2 绕原点旋转 1 2 3 5 绕平面上任意点P m n 的二维旋转变换 16 T1 T2 T3 T 绕平面上任意点p m n 的二维旋转变换的总变换矩阵 17 设直线方程Ax By C 0 则 x轴上的截距为 C Ay轴上的截距为 C B斜率为 A B 2 让直线绕原点顺时针旋转 角 使之与X轴重合 1 将直线沿X轴平移C A 使之过原点 对任意直线的对称变换可分解为以下五步 6 对任意直线的对称变换 18 3 图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换 4 让直线绕原点逆时针旋转 角 恢复到原来的倾斜位置 5 将直线平移回原来的位置 组合变换矩阵 19 三维图形变换矩阵通式为4x4方阵 比例 反射 旋转 错切 平移 投影变换 总体比例变换 空间点 xyz 的四维齐次坐标 XYZH 表示 三维空间点的变换为 xyz1 T x y z 1 变换前点的坐标 变换后点的坐标 三维图形的变换矩阵 lmn 1x3 pqr T s 1x1 4 2三维图形变换 20 三维图的基本变换 4 2 2轴向比例变换 变换矩阵主对角线上的元素a e j s的作用是是图形产生比例变换 0 S 1 为图形整体放大 S 1 为图形整体缩小 S 0 为对称变换 比例变换 S 1 为恒等变换 xyz1 T xyzs x sy sz s1 xyz1 T axeyjz1 x y z 1 若a e j 则图形三方向的缩放比例相同 若a e j 则图形将产生类似变形 4 2 1全比例变换 21 1 对OXY平面的反射 特点 xy值不变 z坐标符号改变 xyz1 T xy z1 2 对YOZ平面的反射 特点 zy值不变 x坐标符号改变 xyz1 T xyz1 3 对XOZ平面的反射 特点 xz值不变 y坐标符号改变 xyz1 T x yz1 4 2 3对称变换 22 指空间的立体从一个位置移动到另一位置时 其形状 大小都不发生变换的变换 xyz1 T x ly mz n1 4 2 4平移变换 23 例 一单位立方体 现将它沿x方向移动3单位 y方向移动2单位 z方向移动3 5单位 S T 24 三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转 角 且 角的正负按右手定则决定 1 绕X轴旋转 角 X坐标不变 Y Z坐标发生变化 2 绕Y轴旋转 角 Y坐标不变 X Z坐标发生变化 3 绕Z轴旋转 角 Z坐标不变 X Y坐标发生变化 4 2 5旋转变换 25 设ON为过原点的任一直线 它对三根坐标轴的方向余弦分别为 如立体绕ON轴旋转 角 变换可分为以下几步 1 假设在Z轴上取单位矢量K 使K绕Y轴旋转 1角 再绕Z轴旋转 2角 使其与ON轴重合 0011 n1n2n31 sin 1cos 2sin 1sin 2cos 11 2 将立体随轴ON一起 作上面所述相反的旋转 1 先绕Z轴旋转 2角 2 再绕Y轴旋转 1角 使ON轴与OZ轴重合 n1 cos sin 1cos 2 n2 cos sin 1sin 2 n3 cos cos 1 3 变换后的元素绕OZ轴旋转 角 4 绕Y轴旋转 1角 5 绕Z轴旋转 2 4 2 6绕过坐标原点的任意倾斜直线旋转 26 其变换矩阵为 T 绕Z轴旋转角 2 绕Y轴旋转角 1 绕Z轴旋转角 绕Y轴旋转角 1 绕Z轴旋转角 2 27 4 2 7正投影变换 28 1 正面投影变换矩阵TV 2 水平投影变换矩阵TH X Z坐标值不变 Y 0 1 X Y坐标值不变 Z 0 2 再将得到的投影绕X轴旋转 90 3 然后沿Z轴方向平移一段的距离 29 3 侧面投影变换矩阵TW 将空间几何元素向YOZ平面 即W面 作垂直投影 x 0 再将得到的投影绕Z轴旋转90 然后沿X轴方向平移一段的距离 30 它的产生过程是 1 将空间几何元素先绕Z轴旋转角 2 再绕X轴旋转角 0 3 最后向V面作正投影 4 2 8轴测投影变换 31 这种轴测图的特点是 三个轴向变形系数是相等的 45 35 16 轴向变形系数为cos35 16 0 8165 在轴测投影变换中 最常用的是正轴测投影 32 2 写出对任意直线的对称变换的过程及变换矩阵 作业 1 读懂程序例4 1 并将其改编为一个绕任意点旋转的二维图形变换程序 33