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等腰三角形一课一练基础闯关题组等边三角形判定定理的应用1.(xx静宁县期中)ABC中,AB=AC,A=C,则ABC是()A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定【解析】选B.ABC中,AB=AC,B=C,又A=C,A=B=C.ABC是等边三角形.2.如图,E是等边ABC中AC边上的点,1=2,BE=CD,则ADE的形状是世纪金榜导学号10164012()A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状【解析】选B.ABC为等边三角形,AB=AC.1=2,BE=CD,ABEACD,AE=AD,BAE=CAD=60,ADE是等边三角形.3.(xx新城区期中)如图,ABC是等边三角形,DEBC,若AB=5,BD=3,则ADE的周长为()A.2B.6C.9D.15【解析】选B.ABC为等边三角形,A=B=C=60,DEBC,ADE=AED=B=C=60,ADE为等边三角形,AB=5,BD=3,AD=AB-BD=2,ADE的周长为6.4.(xx安陆市期中)ABC中,B=60,AB=AC,BC=3,则ABC的周长为_.【解析】AB=AC,ABC是等腰三角形,又B=60,ABC是等边三角形,AB=BC=CA=3,ABC的周长为9.答案:95.在ABC中,A=60,ABC,ACB所对的边b,c满足b2+c2-4(b+c)+8=0.求证:ABC是边长为2的等边三角形.世纪金榜导学号10164013【证明】b2+c2-4(b+c)+8=0,(b-2)2+(c-2)2=0,b=c=2,又A=60,所以ABC是边长为2的等边三角形. 题组含30角的直角三角形的性质1.(xx蒙阴县一模)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,ABC=150,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是()A.833mB.4mC.4mD.8m【解析】选B.过C作CMAB于M,则CM=h,CMB=90,ABC=150,CBM=30,h=CM=12BC=4m.2.(xx河池中考)已知等边ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DEAC于点E,过E作EFBC于点F,过F作FGAB于点G.当G与D重合时,AD的长是()世纪金榜导学号10164014A.3B.4C.8D.9【解析】选C.设BD=x,ABC是等边三角形,A=B=C=60,DEAC,EFBC,FGAB,BDF=DEA=EFC=90,BF=2x,CF=12-2x,CE=2CF=24-4x,AE=12-CE=4x-12,AD=2AE=8x-24,AD+BD=AB,8x-24+x=12,x=4,BD=4,AD=12-4=8.3.如图,在ABC中,C=90,B=30,AD平分CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=_.【解析】C=90,B=30,CAB=60,AD平分CAB,BAD=CAD=30,BD=AD=2CD=2.答案:2【归纳整合】直角三角形的特殊边角关系1.两锐角的关系:直角三角形的两锐角互余.2.三边关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.边角之间的关系:在直角三角形中,如果一个内角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.4.在ABC中,AB=AC,BAC=120,ADAC于点A,世纪金榜导学号10164015(1)求BAD的度数.(2)证明:DC=2BD.【解析】(1)ADAC,DAC=90.BAC=120,BAD=BAC-DAC=120-90=30.(2)AB=AC,BAC=120,B=C=30.DAC=90,DC=2AD.BAD=B=30,AD=BD,DC=2BD.【变式训练】在等腰三角形ABC中,AB=AC=2a,底角为15,求腰上的高CD的长.【解析】ABC=ACB=15,DAC=ABC+ACB=15+15=30,又ADC=90,CD=12AC=122a=a.如图,ABC是等边三角形,P为ABC内部一点,将ABP绕点A逆时针旋转后能与ACP重合,如果AP=3,求PP的长.【解析】ABC是等边三角形,BAC=60.ABP绕A点逆时针旋转后与ACP重合,AP=AP,BAP=CAP,BAC=BAP+CAP=CAP+CAP=PAP=60,APP为等边三角形,PP=AP=3.【母题变式】变式一如图,将ABC绕点A逆时针旋转60度后得到AED,连接BE,CD,若BAC=30,则下列说法:BC=ED;ABE和ACD都是等边三角形;CAE=30;AECD.其中正确的说法是()A.B.C.D.【解析】选D.AED由ABC旋转而成,BC=DE,故正确;将ABC绕点A逆时针旋转60度后得到AED,BAE=60,AB=AE,ABE是等边三角形;同理,CAD=60,AC=AD,ACD是等边三角形,故正确;BAE=60,BAC=30,CAE=30,故正确;ACD是等边三角形,CAE=30,AE是CAD的平分线,AECD,故正确.变式二如图,点A,B,C在一条直线上,ABD,BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论:ABEDBC;DMA=60;BPQ为等边三角形;PQAC.其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.ABD,BCE为等边三角形,AB=DB,ABD=CBE=60,BE=BC,ABE=DBC,PBQ=60,在ABE和DBC中,AB=DB,ABE=DBC,BE=BC,ABEDBC(SAS),正确;ABEDBC,BAE=BDC,BDC+BCD=180-60-60=60,DMA=BAE+BCD=BDC+BCD=60,正确;在ABP和DBQ中,BAP=BDQ,AB=DB,ABP=DBQ=60,ABPDBQ(ASA),BP=BQ,BPQ为等边三角形,正确;BPQ是等边三角形,PQB=60,PQB=QBC,PQAC,故正确.变式三如图,ABC是等边三角形,分别延长AB至点F,BC至点D,CA至点E,使AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,求证:DEF是等边三角形.【证明】ABC是等边三角形,EAF=FBD=DCE=120.AB=BC=CA,AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,AF=BD=CE,AE=BF=CD,AEFBFDCDE.EF=FD=DE.即DEF是等边三角形.
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