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第十三章 13.3.3等边三角形知识点1：等边三角形及其性质(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60;等边三角形是轴对称图形,对称轴有三条;等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有所有等腰三角形的性质.关键提醒:等边三角形具有三条“三线合一”的线.知识点2：等边三角形的判定等边三角形的判定方法有三个:(1)定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.归纳整理:用“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”来证明三角形是等边三角形的情况比较多.考点1：等边三角形的边角计算【例1】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PEAC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为()A. B. C. D.不能确定答案:B点拨：如图所示,作PFBC交AC于F,ABC是等边三角形,APF=ABC=60,AFP=ACB=60,APF是等边三角形,AP=PF,PA=CQ,PF=CQ.在DPF和DQC中,DPFDQC,DF=DC,PEAC,E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.考点二：利用等边三角形证线段和差【例2】如图,在ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,ADB=60,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.(1) (2) (3)证明：证法一:如图 (1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,ADB=60,DE=DB,DBE是等边三角形,BE=DB.BE=CF.AB=AC,ABC=ACB,ABD=ACF.BD=CF,ABDACF.F=D=60,ADF是等边三角形,AD=DF,AD-DE=DF-DB,即AE=BF,AE=BC+CF=BC+BE.证法二:如图 (2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.ADB=60,DE=DB,DBE是等边三角形,CBP=DBE=60,BPC为等边三角形,BP=PC.AB=AC,AP=AP,BAPCAP,BPA=CPA,PCB=D=60,PCAD,CPA=EAP,EAP=BPA,AE=EP=BE+BC.证法三:如图 (3),过C作CMBE,交AD于M.ADB=60,DE=DB,DBE是等边三角形,DBE=60.CMBE,MCD=DBE=60,DMC=DEB=60,DCM为等边三角形,CD=MD,CD-DB=DM-DE,即BC=EM.AB=AC,ABC=ACB.D+DAB=DCM+MCA.D=MCD=60,DAB=MCA.MCBE,CMA=AEB,ABECAM.AM=BE,AE=AM+EM=BE+BC.点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.
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