定积分的应用体积旋转体的侧面积ppt课件

例1 求由摆线 的一拱与x轴所围平面图形的面积 解 1 例2 计算心形线 与圆 所围图形的面积 解 利用对称性 所求面积 2 例3 求双纽线 所围图形面积 解 利用对称性 则所求面积为 思考 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 答案 3 二 体积 4 5 6 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 7 例2计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 8 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 9 10 11 12 13 例5 计算摆线 的一拱与y 0 所围成的图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 利用对称性 14 绕y轴旋转而成的体积为 注意上下限 注 15 分部积分 注 利用 偶倍奇零 16 柱壳体积 说明 柱面面积 17 偶函数 奇函数 18 19 20 例7设 在x 0时为连续的非负函数 且 形绕直线x t旋转一周所成旋转体体积 证明 证 利用柱壳法 则 故 21 设平面图形A由 与 所确定 求 图形A绕直线x 2旋转一周所得旋转体的体积 提示 选x为积分变量 旋转体的体积为 例8 若选y为积分变量 则 22 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 取侧面积元素 23 侧面积元素 的线性主部 若光滑曲线由参数方程 给出 则它绕x轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积 S的 注意 侧面积为 24 例9 计算圆 x轴旋转一周所得的球台的侧面积S 解 对曲线弧 应用公式得 当球台高h 2R时 得球的表面积公式 25 例10 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积S 解 利用对称性 绕x轴旋转 26 星形线 星形线是内摆线的一种 点击图片任意处播放开始或暂停 大圆半径R a 小圆半径 参数的几何意义 当小圆在圆内沿圆周滚动 时 小圆上的定点的轨迹为是内摆线 27 作业 习题九 P199 6 9 12 13 15 28