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19.2.3一次函数与方程、不等式第2课时【教学目标】知识与技能:理解一次函数与二元一次方程(组)、 一元一次不等式之间的联系.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义,会求二元一次方程的解.过程与方法:经历用函数图象表示方程、不等式解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)不解关于x,y的方程组y=x+1,y=mx+n,请你直接写出它的解.(2)求不等式x+1mx+n的解集.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.你能解答上面的三个问题吗?这一节我们就来研究这一问题.二、探究归纳活动1:一次函数与一元一次不等式的关系1.探究:我们来看下面两个问题有什么关系?(1)解不等式5x+63x+10.(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?在问题(1)中,不等式5x+63x+10可以转化为2x-40,解这个不等式得x2.解问题(2)就是要解不等式2x-40,得出x2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来求解一元一次不等式?师我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出:当x2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时y=2x-40.由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为x2.由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b0”与“求自变量x在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.2.归纳:任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b0或ax+b3x+4分析:将不等式转化为kx+b0的形式,画相应函数y=kx+b的图象,得到相应自变量的取值范围.解:原不等式可化为-x-30,画出函数y=-x-3的图象,从图象可以看出,当x0,因此不等式的解集是x0或ax+b0(a0)的形式.(2)画出一次函数y=ax+b的图象.(3)找出图象与x轴交点的横坐标,不等式的解集就相应得出.【例2】如图,若直线l1与l2相交于点P,则根据图象可得,二元一次方程组2x-y=3x+y=3的解是_.分析:方程组2x-y=3x+y=3的解,就是直线l1与直线l2的交点P的坐标.解:一次函数y=2x-3的图象l1与y=-x+3的图象l2相交于点P, 点P的坐标是(2,1),方程组2x-y=3x+y=3的解是x=2,y=1.答案:x=2,y=1总结:用图象法确定二元一次方程组的解1.将两个方程都化为y=kx+b(k、b是常数,k0)的形式.2.画出两个函数的图象,确定交点坐标.3.两个一次函数图象交点的坐标是二元一次方程组的解.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与二元一次方程(组)、 一元一次不等式之间的联系. 能把解方程kx+b=0(k0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次不等式和二元一次方程组,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.如图,直线y=kx+b(k0的解集是()A.x3C.x0D.x1的解集是()A.x0B.x1D.x13.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2xax+4的解集为()A.x32B.x32D.x34.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-2,3),则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是()A.x=2y=3B.x=-2y=3C.x=3y=-2D.x=3y=25.如图,如果一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是()A.x=-2y=3B.x=3y=-2C.x=2y=3D.x=-2y=-36.如图,已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组y=ax+by=kx的解是_.7.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1mx+n的解集为_ .8.已知两直线y1=2x-3,y2=6-x,(1)在同一坐标系中作出它们的图象.(2)求它们的交点A的坐标.(3)根据图象指出x为何值时,y1y2;x为何值时,y1y2.(4)求这两条直线与x轴所围成的ABC的面积.9.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:何时弟弟跑在哥哥前面?何时哥哥跑在弟弟前面?谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8,10,13,15题六、板书设计19.2.3一次函数与方程、不等式第2课时一、一次函数与一元一次不等式的关系二、一次函数与二元一次方程组的关系三、例题讲解四、板演练习七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次不等式、与二元一次方程组的关系.1.关于一次函数与一元一次不等式的关系,教师通过实例引导学生通过分析一次函数与一元一次方程的关系,关键抓住一次函数图象与x轴的交点坐标,x轴上方的部分y的值大于0,下方的部分y的值小于0,就得到了一次函数与一元一次不等式的关系.同时引导学生分析得出一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系与区别.2.关于一次函数与二元一次方程组的关系,教师通过实例引导学生分析得出:二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成,而每个一次方程的图象都是一条直线;两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解, 也就是这个二元一次方程组的解.并让学生通过练习验证.
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