板壳力学ch5大挠度理论ppt课件

平板理论 第五章薄板的大挠度理论 平板理论 大挠度 也称为几何非线性 问题的理论描述 经典求解方法 仍为小应变问题 Largedeformation deflection displacement 68 1 5 1基本假定 平板理论 1 板单元的荷载与内力 68 2 2 基本假定 1 板的挠度w与板厚t为同一数量级 但与板的平面尺寸相比较 仍为小量 2 与挠度w相比较 中面位移u v是很小的量 3 变形前垂直于中面的直线 变形后仍为直线 且垂直于变形后的中面 并保持原长 保持原长 意味着 z 0 板厚度不变 变形后仍为直线 意味着 yz zx 0 直法线假定 由于u v引起的面内伸缩一致 4 正应力 z与 x y xy相比 属于小量 平板理论 68 3 平板理论 与小挠度理论的不同点 中面内各点 由于挠度w将产生面内 纵向 位移u v 由于中面位移u v 将产生中面应变和应力 板内各层由于u v产生伸缩变形一致 小挠度理论 大挠度理论 68 4 5 2薄板大挠度弯曲的基本方程 5 2 1中面应变分量与应变协调方程设坐标系oxy与板中面重合 z轴向下为正 当平板弯曲时 中面上点P x y z 的位移为u v w 在x y方向的正应变为 x y 剪应变为 xy 中面的曲率及扭率为Kx Ky 平板理论 68 5 平板理论 1 中面的曲率及扭率 根据直法线假定 且薄板各层由于u v产生的伸缩变形是均匀的 u v对挠曲变形w没有影响 因而 大变形条件下 挠曲变形模式与小挠度理论中相同 故此 两种理论下 中面曲率和扭率表达式相同 即 68 6 平板理论 2 中面应变中面应变 x y xy 仅由u v w产生 68 7 平板理论 1 由u v产生的应变 微元的AB线变形变形前长度为dx 变形后长度为ds1 由此长度变化产生的应变为 68 8 平板理论 微元的AC线变形变形前长度为dy 变形后长度为ds2 由此 同理可得dy长度变化产生的应变 68 9 平板理论 微元的AB AC线角变形 AB线角变形 BC线角变形 则 剪应变为 68 10 平板理论 2 由w产生的应变微元的AB线因w产生的长度变化 变形后长度为ds3 AC线因w产生的长度变化 变形后长度为ds4 68 11 平板理论 微元AB线因w产生的长度变化 变形后长度为ds3 由此长度变化产生的应变为 68 12 平板理论 微元AC线因w产生的长度变化 变形后长度为ds4 由此长度变化产生的应变为 68 13 平板理论 微元AB AC线因w产生的角变形 xy 由上节几何关系可求得 则 A 68 14 平板理论 BAC变形前为直角 2 变形后为 2 xy 则由余弦定理可求得 C 因为 xy 为小变形 即有 则式 B 简化为 B 68 15 平板理论 由式 A 式 C 可得到 经过简化可得因w产生的剪应变 68 16 平板理论 3 总应变大变形条件下 薄板中面上的应变 几何非线性项 68 17 平板理论 大变形条件下 薄板上距中面为z的点的变形 68 18 平板理论 由直法线假定 得到大变形条件下 薄板上距中面为z的点的应变 68 19 平板理论 大变形条件下 薄板的应变模式 68 20 平板理论 大变形条件下 薄板上距中面为z的点的应变 m membrane薄膜 合力作用在面内 b bending弯曲 合力作用在面外 68 21 平板理论 3 应变协调方程 相容方程 中面连续条件 x y xy是u v w的函数 u v w是坐标x y的函数 则 x y xy相互关联 对 x关于y求导两次 对 y关于x求导两次 对 xy关于x y各求导一次 得到 上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程 或称为中面连续条件 满足连续条件 中面不发生撕裂 也不发生皱褶 68 22 5 2 2应力分量 内力 内力矩 平板理论 1 应力分量由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得 距中面为z的点的应力为 68 23 平板理论 其中 x y xy为中面应力 称为薄膜应力 68 24 平板理论 大变形条件下 薄板的应力模式 68 25 平板理论 大变形条件下 薄板上距中面为z的点的应力 68 26 平板理论 2 内力与内力矩 1 内力矩 横向力与薄膜力无关 因而 与小挠度理论表达式相同 内力矩为 面内应力沿板厚积分 68 27 平板理论 横向剪力 通过与弯矩的关系式得到 为 68 28 平板理论 根据直法线假定 薄膜应力 x y xy沿板厚均匀分布 则中面力 薄膜力 可表示为 沿板厚积分 2 中面内力 薄膜力 单位宽度的中面力 68 29 平板理论 中面应变与内力的关系 68 30 平板理论 将内力代入应力表达式 得到用内力表示的应力 上式中 第一项为薄膜应力 第二项为弯曲应力 在小挠度理论中 薄膜应力为0 68 31 平板理论 5 2 3基本微分方程 与小挠度理论不同 板单元的内力增加了薄膜内力 建立平衡方程的条件 板的状态 68 32 平板理论 1 基本方程根据板微元的平衡方程 确定力与变形间的关系 1 由 Fx 0 2 由 Fy 0 1 2 68 33 平板理论 3 由 Fz 0 横向内力及荷载产生的分量 薄膜力产生的分量 Nx因板挠曲变形在z向产生的分量为 68 34 平板理论 略去高阶项 变为 68 35 平板理论 同理 Ny因板挠曲变形在z向产生的分量为 Nxy Nyx因板挠曲变形在z向产生的分量 68 36 平板理论 Nxy Nyx因板挠曲变形在z向产生的分量为 68 37 平板理论 z向内力平衡方程 将 Fx 0 Fy 0的平衡条件代入 Fz 0 简化可得 3 68 38 平板理论 4 由力矩平衡 M 0条件 Mz 0得到 剪力互等 Mx 0得到 My 0得到 68 39 平板理论 将Qx Qy代入式 3 得到挠曲方程或控制微分方程 说明 上式中的中面内力Nx Ny Nxy是由横向剪力q引起的 而不是由面内纵向荷载引起 所以 Nx Ny Nxy是未知的 因而 方程式 4 有4个未知量w和Nx Ny Nxy 也即方程组 1 2 4 有4个未知数 不能求得唯一解 需要考虑变形协调关系 4 68 40 平板理论 将应变 x y xy与中面内力Nx Ny Nxy的关系代入应变协调方程 可得到 5 为了简化方程 引入应力函数F x y 且令 68 41 平板理论 6b 应力函数F x y 与中面内力的关系显然满足式 1 2 将应力函数F x y 与中面内力的关系引入式 4 5 可得 式 6 为平板大挠度弯曲平衡方程 由VonKarman1910年导出 根据边界条件求解上式 可得到挠度w 应力函数F 进而求得板的内力 6a 68 42 平板理论 上式为平板小挠度弯曲平衡方程 即中面不发生面内变形时 大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题 高层建筑结构设计中的刚性楼板问题 如何解释 面内为刚性 面外为弹性 板的实际变形 与厚度之比 工程上的精度要求 2 特殊情形 1 刚性板板中面为中性面 即中面薄膜力为0 式 6 中可取F x y 0 基本平衡方程变为 68 43 平板理论 上式为膜的平衡方程 横向荷载由中面内力平衡 2 柔性板薄板弯曲刚度很小 与中面薄膜力相比 弯曲应力可以忽略 令D 0 薄板弯曲刚度为0 称为绝对柔性板 基本平衡方程变为 68 44 平板理论 大挠度弯曲方程求解w F 需给出相应的边界条件 关于w的边界条件与小挠度理论相同 关于F的边界条件需要增加 5 2 4边界条件 1 边界上有已知力Nx Ny Nxy边界条件为 x a y b 68 45 平板理论 上列边界条件不能直接应用 需进行变换 将位移与应力函数联系起来 2 边界上有已知位移u v边界条件为 y b 中面正应变 x a 68 46 平板理论 上式中的未知 不能直接采用 需要进一步转换 上式对y积分得到 中面剪应变 xy 68 47 平板理论 令上式 a 式 简化后得到 在关于x求导得到 上式关于y求导 得到 b 式 a b 为所得到的y b的边界条件 68 48 平板理论 特殊情形 当y b处 u v 0 则边界条件变为 a b 68 49 平板理论 相应的边界条件为 3 边界纵向 面内 无约束 即x 0时 x y方向中面力为0 y 0 68 50 5 3无限长薄板的大挠度弯曲 平板理论 1 几何形式与荷载荷载为 q q x 道路 因板为无限长 如图所示 丄y的轴均为对称轴 则内力与变形的特征为 68 51 平板理论 2 平衡方程 由 Fx 0得 或 由 Fz 0得 令 方程变为 a 68 52 平板理论 由几何方程可得 3 求解因x轴为对称轴 w w x 则v 0 y 0 由物理方程可得 b 由 a b 组成的方程组 利用u的边界条件 可求得Nx w的表达式 68 53 5 4变分法求解技术 平板理论 1 变形能表达式薄板的变形能包括 弯曲变形能Ub和薄膜应变能Um 弯曲变形能Ub 68 54 平板理论 将关系式 薄膜应变能Um 代入上式得到 68 55 平板理论 用应力表示 用应变表示 用应力函数表示 68 56 平板理论 用位移表示 68 57 平板理论 2 外力功 3 总势能 68 58 2 李兹 Ritz 法设位移函数u v w分别为 平板理论 其中 函数um vm wm m 1 2 均满足边界条件 Am Bm Cm为互不相关的独立待定参数 试函数 68 59 平板理论 将函数u v w代入总势能方程 可得到关于Am Bm Cm的代数方程 根据最小势能原理 对 分别关于Am Bm Cm求导 且令相应的导数等于0 则得到关于Am Bm Cm的方程组 由以上方程可求得Am Bm Cm 进而即可得到位移函数u v w 68 60 5 5圆形薄板大挠度弯曲的基本方程 平板理论 1 平衡方程利用直角坐标系与柱面坐标系间的变换关系 有 若取r轴与x轴重合 又有 68 61 平板理论 极坐标系下的平衡方程 其中 68 62 平板理论 2 内力表达式中面内力 68 63 平板理论 弯矩 剪力 68 64 平板理论 3 轴对称弯曲对称条件 几何形状 边界条件 荷载均为轴对称 1 平衡方程 68 65 平板理论 上式乘r并积分 得到 由于轴对称 则在r 0处 0 上式进一步简化为 68 66 平板理论 2 内力表达式薄膜力 68 67 平板理论 弯矩 剪力 68 68 应变分量 平板理论 68 69 谢谢 68 70