中考数学真题分类汇编第三期专题28解直角三角形试题含解析.doc

解直角三角形一.选择题 1（xx重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米【分析】作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根据tan24=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N在RtCDN中，=，设CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四边形BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在RtAEM中，tan24=，0.45=，AB=21.7（米），故选：A【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2（xx吉林长春3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A.B两地之间的距离为（）A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，根据tan=，即可解决问题；【解答】解：在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，tan=，AB=故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3（xx江苏常州2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转从图中所示的图尺可读出sinAOB的值是（）ABCD【分析】如图，连接AD只要证明AOB=ADO，可得sinAOB=sinADO=；【解答】解：如图，连接ADOD是直径，OAD=90，AOB+AOD=90，AOD+ADO=90，AOB=ADO，sinAOB=sinADO=，故选：D【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目二.填空题1. （xx湖北江汉3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45方向上在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile【分析】作ADBC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可【解答】解：作ADBC于D，设AC=x海里，在RtACD中，AD=ACsinACD=x，则CD=x，在RtABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里故答案为：182. （xx湖北荆州3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45（如图所示），那么a的值约为 米（1.73，结果精确到0.1）【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，CE=33，CBE=45=BCE，CAE=30，BE=CE=33，AE=a+33，tanA=，tan30=，即33=a+33，解得a=33（1）24.1，a的值约为24.1米，故答案为：24.13(xx辽宁省葫芦岛市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45，景点B的俯角为知30，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）【解答】解：MCA=45，NCB=30，ACD=45，DCB=60，B=30CD=100米，AD=CD=100米，DB=米，AB=AD+DB=100+100（米） 故答案为：100+1004. （xx湖北咸宁3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45，测得底部C的俯角为60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_m（结果保留整数，1.73）【答案】300【解析】【分析】在RtABD中，根据正切函数求得BD=ADtanBAD，在RtACD中，求得CD=ADtanCAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可【详解】如图，在RtABD中，AD=110，BAD=45，BD= ADtan45 =110（m），在RtACD中，CAD=60，CD=ADtan60=110190（m），BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键5.（xx辽宁大连3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为 m（精确到0.1m参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）解：过D作DEAB，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53，ADE=53BC=DE=6m，AE=DEtan5361.337.98m，AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m9.5m 故答案为：9.5三.解答题1. （xx广西贺州8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45的方向上有一灯塔B游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：1.41，1.73）【解答】解：过点C作CMAB，垂足为M，在RtACM中，MAC=9045=45，则MCA=45，AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（202）2，解得：AM=CM=40，ECB=15，BCF=9015=75，B=BCFMAC=7545=30，在RtBCM中，tanB=tan30=，即=，BM=40，AB=AM+BM=40+4040+401.73109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里2. （xx广西梧州8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30，测得瀑布底端B点的俯角是10，AB与水平面垂直又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CFAB于点F）斜坡CD=20m，坡角ECD=40求瀑布AB的高度（参考数据：1.73，sin400.64，cos400.77，tan400.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18）【分析】过点D作DMCE，交CE于点M，作DNAB，交AB于点N，在RtCMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在RtBDN、RtADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度【解答】解：过点D作DMCE，交CE于点M，作DNAB，交AB于点N，如图所示在RtCMD中，CD=20m，DCM=40，CMD=90，CM=CDcos4015.4m，DM=CDsin4012.8m，DN=MF=CM+CG+GF=60m在RtBDN中，BDN=10，BND=90，DN=60m，BN=DNtan1010.8m在RtADN中，ADN=30，AND=90，DN=60m，AN=DNtan3034.6mAB=AN+BN=45.4m答：瀑布AB的高度约为45.4米【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键3. （xx湖北十堰7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：1.414，1.732，结果取整数）【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可【解答】解：过C作CDAB，在RtACD中，A=45，ACD为等腰直角三角形，AD=CD=AC=50海里，在RtBCD中，B=30，BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里【点评】此题考查了解直角三角形方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键4.（xx云南省昆明7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42，测得隧道底端B处的俯角为30（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，1.73）【分析】如图作AEBD于E分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BDBC计算即可；【解答】解：如图作AEBD于E在RtAEB中，EAB=30，AB=10m，BE=AB=5（m），AE=5（m），在RtADE中，DE=AEtan42=7.79（m），BD=DE+BE=12.79（m），CD=BDBC=12.796.56.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题5.（xx浙江省台州8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】作CEBD于F，AFCE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，HAF=90，再计算出CAF=28，则在RtACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可【解答】解：作CEBD于F，AFCE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAHHAF=11890=28，在RtACF中，sinCAF=，CF=9sin28=90.47=4.23，CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算6（xx辽宁省盘锦市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FHBD于H，由图可知，FH=CD=30mBFH=30在RtBFH中，BH=，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC1BD=310=30=CD，BCD=45，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部7（xx辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角DAN和DBN分别是37和60（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CMAN）（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.73sin37060，cos370.80，tan370.75）【分析】（1）延长DC交AN于H只要证明BC=CD即可；（2）在RtBCH中，求出BH、CH，在 RtADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于HDBH=60，DHB=90，BDH=30，CBH=30，CBD=BDC=30，BC=CD=10（米）（2）在RtBCH中，CH=BC=5，BH=58.65，DH=15，在RtADH中，AH=20，AB=AHBH=208.65=11.4（米）【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型8. （xx呼和浩特8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）已知在地面B处测得山顶A的仰角为33，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作DHBC于H设AE=xDH：BH=1：3，在RtBDH中，DH2+（3DH）2=6002，DH=60，BH=180，在RtADE中，ADE=45，DE=AE=x，又HC=ED，EC=DH，HC=x，EC=60，在RtABC中，tan33=，x=，AC=AE+EC=+60=答：山顶A到地面BC的高度AC是米9. （xx广安8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60方向上，终点B位于点C的南偏东45方向上一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：1.41，1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可【解答】解：由题意得：DCA=60，DCB=45，在RtCDB中，tanDCB=，解得：DB=200，在RtCDA中，tanDCA=，解得：DA=200，AB=DADB=200200146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般10. （xx莱芜9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE（结果精确到0.1m）（sin650.9，cos650.4，tan501.2）【分析】过点B作BFAC于F，BGCD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可【解答】解：过点B作BFAC于F，BGCD于G，在RtBAF中，BAF=65，BF=ABsinBAF=0.80.9=0.72，AF=ABcosBAF=0.80.4=0.32，FC=AF+AC=4.32，四边形FCGB是矩形，BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，BDG=45，BDG=GBD，GD=GB=4.32，CD=CG+GD=5.04，在RtACE中，AEC=50，CE=，DE=CDCE=5.043.33=1.711.7，答：小水池的宽DE为1.7米【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形11（xx江苏镇江6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长（精确到0.1米）参考值：1.41，1.73【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在RtAFM中，MF=，在RtCNH中，HN=，HF=MF+HNMN=x+x24，即8=x+x24，解得，x11.7，AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m12（xx江苏常州8分）京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30，DBA=60，求该段运河的河宽（即CH的长）【分析】过D作DEAB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：过D作DEAB，可得四边形CHED为矩形，HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在RtBDE中，DBA=60，BE=xm，在RtACH中，BAC=30，AH=xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即CH=30m，则该段运河的河宽为30m【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键