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直角三角形一课一练基础闯关题组直角三角形全等的判定1.(xx澧县期中)下列不能使两个直角三角形全等的条件是()A.一条直角边及其对角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等【解析】选D.选项A符合AAS,正确;选项B符合HL,正确;选项C符合AAS,正确;选项D因为判定三角形全等必须有边的参与,错误.故选D.2.(xx福清市期末)如图,已知ACBD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到AOBCOD,理由是()世纪金榜导学号10164020A.HLB.SASC.ASAD.AAS【解析】选A.在RtAOB和RtCOD中,AO=CO,AB=CD,RtAOBRtCOD(HL).3.(xx文安县期中)如图,CEAB,DFAB,垂足分别为E,F,ACDB,且AC=BD,那么RtAECRtBFD的理由是()A.SSSB.AASC.SASD.HL【解析】选B.ACBD,A=B,CEAB,DFAB,AEC=DFB,且AC=BD,在RtAEC和RtBFD中,满足AAS.4.已知RtABC中,C=90,B=30,AB=4,则下列各图中的直角三角形与RtABC全等的是()【解析】选A.在RtABC中,C=90,B=30,AB=4,AC=2,A=60,在A选项中,同理可知斜边为4,故由HL能判定两三角形全等.【易错提醒】由两直角三角形仅有一组边对应相等,判断其两个三角形全等是错误的!5.在ABC中,AB=CB,ABC=90,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.世纪金榜导学号10164021(1)求证:RtABERtCBF.(2)若CAE=30,求ACF的度数.【解析】(1)ABC=90,CBF=ABE=90,在RtABE和RtCBF中,AE=CF,AB=CB,RtABERtCBF(HL).(2)AB=CB,ABC=90,CAB=ACB=45,又BAE=CAB-CAE=45-30=15,由(1)知:RtABERtCBF,BCF=BAE=15,ACF=BCF+ACB=15+45=60.题组直角三角形全等的应用1.(xx达州月考)如图,ABAC于点A,BDCD于点D,若AC=DB,则下列结论中不正确的是()A.A=DB.ABC=DCBC.OB=ODD.OA=OD【解析】选C.ABAC于点A,BDCD于点D,A=D=90(A正确).又AC=DB,BC=BC,RtABCRtDCB,ABC=DCB(B正确),AB=CD.又AOB=COD,AOBDOC,OA=OD(D正确),C中OD,OB不是对应边,不相等.2.如图,在RtABC与RtDEF中,B=E=90,AC=DF,AB=DE,A=50,则DFE=_.世纪金榜导学号10164022【解析】在RtABC与RtDEF中,B=E=90,AC=DF,AB=DE,RtABCRtDEF(HL)D=A=50,DFE=90-D=90-50=40.答案:403.如图,BE,CD是ABC的高,且BD=EC,CD=5,则BE=_.【解析】BE,CD是ABC的高,CDB=BEC=90,在RtBCD和RtCBE中,BD=EC,BC=CB,RtBCDRtCBE(HL).BE=CD=5.答案:54.如图,D为RtABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过D作BC的垂线,交AC于点E,若AE=12cm,则DE的长为_cm.【解析】连接BE.D为RtABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过D作BC的垂线,交AC于E,A=BDE=90,在RtDBE和RtABE中,BD=AB(已知),BE=BE(公共边),RtDBERtABE(HL),AE=DE.又AE=12cm,DE=12cm.答案:12(xx兰陵县期末)在ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BDDE于点D,CEDE于点E.世纪金榜导学号10164023(1)若B,C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:ABAC.(2)若B,C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.【解析】(1)BDDE,CEDE,ADB=AEC=90,在RtABD和RtACE中,AB=AC,AD=CE,RtABDRtCAE.DAB=ECA,DBA=CAE.DAB+DBA=90,EAC+ACE=90,BAD+CAE=90.BAC=180-(BAD+CAE)=90.ABAC.(2)ABAC.证明如下:同(1)一样可证得RtABDRtCAE.DAB=ECA,DBA=EAC,CAE+ECA=90,CAE+BAD=90,即BAC=90,ABAC.【母题变式】变式一如图,MNPQ,ABPQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=_.【解析】MNPQ,ABPQ,ABMN,DAE=EBC=90,在RtADE和RtBEC中,DE=EC,AD=BE,ADEBEC(HL),AE=BC,AD+BC=7,AB=AE+BE=AD+BC=7.答案:7变式二(xx微山县期末)如图,两棵大树间相距13m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90,且EA=ED.已知大树AB的高为5m,小华行走的速度为1m/s,小华走的时间是()A.13sB.8sC.6sD.5s【解析】选B.AED=90,AEB+DEC=90,ABE=90,A+AEB=90,A=DEC,在ABE和DCE中,B=C,A=DEC,AE=DE,ABEECD(AAS),EC=AB=5m,BC=13m,BE=8m,小华走的时间是81=8(s).变式三(xx无锡月考)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=_cm.【解析】在RtABC中,BAC=90,ADB=AEC=90,BAD+EAC=90,BAD+ABD=90,EAC=ABD,AB=AC,ABDCAE(AAS),AD=CE,BD=AE,DE=AD+AE=CE+BD=7cm.答案:7变式四(xx玉田县期末)如图,AB=12,CAAB于点A,DBAB于点B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P,Q两点同时出发,运动_分钟后CAP与PQB全等.【解析】CAAB于点A,DBAB于点B,A=B=90,设运动x分钟后CAP与PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m,分两种情况:若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,CAPPBQ;若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12AC,此时CAP与PQB不全等;综上所述:运动4分钟后CAP与PQB全等.答案:4
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