全国通用版2019高考数学二轮复习专题六函数与导数第3讲导数及其应用课件理.ppt

第3讲导数及其应用 专题六函数与导数 板块三专题突破核心考点 考情考向分析 1 导数的意义和运算是导数应用的基础 是高考的一个热点 2 利用导数解决函数的单调性与极值 最值 问题是高考的常见题型 3 导数与函数零点 不等式的结合常作为高考压轴题出现 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1 函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点P处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的不同 热点一导数的几何意义 解析 答案 例1 1 2018 全国 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为A y 2xB y xC y 2xD y x 解析方法一 f x x3 a 1 x2 ax f x 3x2 2 a 1 x a 又f x 为奇函数 f x f x 恒成立 即 x3 a 1 x2 ax x3 a 1 x2 ax恒成立 a 1 f x 3x2 1 f 0 1 曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 方法二 f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 f x 3x2 2 a 1 x a为偶函数 a 1 即f x 3x2 1 f 0 1 曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 解析 答案 2 若直线y kx b是曲线y lnx 1的切线 也是曲线y ln x 2 的切线 则实数b ln2 解析设直线y kx b与曲线y lnx 1和曲线y ln x 2 的切点分别为 x1 lnx1 1 x2 ln x2 2 直线y kx b是曲线y lnx 1的切线 也是曲线y ln x 2 的切线 1 求曲线的切线要注意 过点P的切线 与 在点P处的切线 的差异 过点P的切线中 点P不一定是切点 点P也不一定在已知曲线上 而在点P处的切线 必以点P为切点 2 利用导数的几何意义解题 主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来进行转化 以平行 垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值 则要求掌握平行 垂直与斜率之间的关系 进而和导数联系起来求解 解析 答案 跟踪演练1 1 2018 全国 曲线y 2ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为 2x y 0 解析 y 2ln x 1 令x 0 得y 2 由切线的几何意义得切线斜率为2 又切线过点 0 0 切线方程为y 2x 即2x y 0 2 若函数f x lnx x 0 与函数g x x2 2x a x 0 有公切线 则实数a的取值范围是A B 1 C 1 D ln2 解析 答案 解析设公切线与函数f x lnx切于点A x1 lnx1 x1 0 h t 在 0 2 上为减函数 热点二利用导数研究函数的单调性 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常函数 函数不具有单调性 解答 例2 2018 聊城模拟 已知函数f x 2ex kx 2 1 讨论函数f x 在 0 内的单调性 解由题意得f x 2ex k x 0 因为x 0 所以2ex 2 当k 2时 f x 0 此时f x 在 0 内单调递增 综上 当k 2时 f x 在 0 内单调递增 2 若存在正数m 对于任意的x 0 m 不等式 f x 2x恒成立 求正实数k的取值范围 解答 解 当00 这时 f x 2x可化为f x 2x 即2ex k 2 x 2 0 设g x 2ex k 2 x 2 则g x 2ex k 2 当k 2时 所以存在x0 0 使得对于任意的x 0 x0 都有f x 2x可化为 f x 2x 即 2ex k 2 x 2 0 设h x 2ex k 2 x 2 则h x 2ex k 2 若2 k 4 则h x 0在 0 上恒成立 这时h x 在 0 内单调递减 且h 0 0 所以对于任意的x 0 x0 都有h x 0 不符合题意 则对于任意的x 0 m 不等式 f x 2x恒成立 综上可得k的取值范围为 4 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0即可 若已知函数的单调性 则转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题来求解 跟踪演练2 1 2018 河南省中原名校质量考评 已知f x x2 2ax lnx x2 2ax在 0 上是增函数 则实数a的取值范围是A 1 B 1 C 0 1 D 1 0 解析 答案 f x 在 0 上是增函数 f x 0在 0 上恒成立 当x 1时 f x 0满足题意 当x 1时 lnx 0 要使f x 0恒成立 则x a 0恒成立 x a 1 a 1 a 0 解得a 1 当0 x 1时 lnx 0 要使f x 0恒成立 则x a 0恒成立 x a 1 a 1 a 0 解得a 1 综上所述 a 1 2 2018 资阳三诊 已知定义在R上的偶函数f x 函数f x 的导函数为f x 满足f f x 1 0 e3f 2018 1 若f x f x 则关于x的不等式f x 2 的解集为A 3 B 3 C 0 D 0 解析 答案 解析 f x 是偶函数 f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x 即f x f x 0 设g x exf x 则 exf x ex f x f x 0 g x 在 上单调递增 相减可得f x f x 3 f x 的周期为3 不等式的解集为 3 故选B 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 热点三利用导数求函数的极值 最值 解答 例3 2018 北京 设函数f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 求a 解因为f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 所以f x ax2 2a 1 x 2 ex 所以f 1 1 a e 由题设知f 1 0 即 1 a e 0 解得a 1 此时f 1 3e 0 所以a的值为1 解答 2 若f x 在x 2处取得极小值 求a的取值范围 解由 1 得f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 当x 2 时 f x 0 所以f x 在x 2处取得极小值 所以f x 0 所以2不是f x 的极小值点 1 求函数f x 的极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 解答 当x变化时 f x f x 的变化情况如表所示 解答 对于任意x1 0 x2 1 当a 2时 因为ex x 1 即g x 在 0 上单调递增 g x g 0 1恒成立 符合题意 所以g x 在 0 上单调递增 且g 0 2 a 0 则存在x0 0 使得g x0 0 所以g x 在 0 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 又g x0 g 0 1 所以g x 1不恒成立 不符合题意 综合 可知 实数a的取值范围是 2 真题押题精练 1 2017 浙江改编 函数y f x 的导函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是 填序号 真题体验 答案 解析 解析观察导函数f x 的图象可知 f x 的函数值从左到右依次为小于0 大于0 小于0 大于0 对应函数f x 的增减性从左到右依次为减 增 减 增 观察图象可知 排除 如图所示 f x 有3个零点 从左到右依次设为x1 x2 x3 且x1 x3是极小值点 x2是极大值点 且x2 0 故 正确 2 2017 全国 改编 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 解析 答案 1 解析函数f x x2 ax 1 ex 1 则f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 由x 2是函数f x 的极值点 得f 2 e 3 4 2a 4 a 1 a 1 e 3 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 由ex 1 0恒成立 得当x 2或x 1时 f x 0 且x0 当 2 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以x 1是函数f x 的极小值点 所以函数f x 的极小值为f 1 1 3 2017 山东改编 若函数exf x e 2 71828 是自然对数的底数 在f x 的定义域上单调递增 则称函数f x 具有M性质 下列函数中具有M性质的是 填序号 f x 2 x f x x2 f x 3 x f x cosx 解析 答案 解析若f x 具有性质M 则 exf x ex f x f x 0在f x 的定义域上恒成立 即f x f x 0在f x 的定义域上恒成立 对于 式 f x f x 2 x 2 xln2 2 x 1 ln2 0 符合题意 经验证 均不符合题意 x y 1 0 答案 解析 即曲线在点 1 2 处的切线的斜率k 1 切线方程为y 2 x 1 即x y 1 0 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用 是高考考查的热点 对于 在某一点处的切线 问题 也是易错易混点 1 设函数y f x 的导函数为f x 若y f x 的图象在点P 1 f 1 处的切线方程为x y 2 0 则f 1 f 1 等于A 4B 3C 2D 1 解析依题意有f 1 1 1 f 1 2 0 即f 1 3 所以f 1 f 1 4 答案 解析 押题依据 押题依据函数的极值是单调性与最值的 桥梁 理解极值概念是学好导数的关键 极值点 极值的求法是高考的热点 解析由题意知f x 3x2 2ax b f 1 0 f 1 10 3 已知函数f x x2 ax 3在 0 1 上为减函数 函数g x x2 alnx在 1 2 上为增函数 则a的值等于 答案 解析 押题依据 押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用 体现了 以直代曲 思想 要在审题中搞清 在 0 1 上为减函数 与 函数的减区间为 0 1 的区别 2 解析 函数f x x2 ax 3在 0 1 上为减函数 依题意g x 0在 1 2 上恒成立 得2x2 a在 1 2 上恒成立 a 2 a 2 答案 解析 押题依据 押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决 考查了转化与化归思想 是高考的一个热点 因此函数f x 在 0 1 上单调递增 所以当x 0 1 时 f x min f 0 1 根据题意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 则要使a h x 在 1 2 上能成立 只需使a h x min