全国通用版2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用课件新人教A版选修2 .ppt

1 7定积分的简单应用 第一章导数及其应用 学习目标 1 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积 2 能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程 变力做功问题 学会用数学工具解决物理问题 进一步体会定积分的价值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一定积分在几何中的应用 思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积 答案求由曲线围成的面积 要根据图形 确定积分上 下限 用定积分来表示面积 然后计算定积分即可 梳理 1 当x a b 时 若f x 0 由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积S 2 当x a b 时 若f x g x 0 由直线x a x b a b 和曲线y f x y g x 所围成的平面图形的面积S 如图 知识点二变速直线运动的路程 思考变速直线运动的路程和位移相同吗 答案不同 路程是标量 位移是矢量 路程和位移是两个不同的概念 梳理 1 当v t 0时 求某一时间段内的路程和位移均用dt求解 2 当v t 0时 求某一时间段内的位移用dt求解 这一时段的路程是位移的相反数 即路程为 dt 做变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即 知识点三变力做功问题 思考恒力F沿与F相同的方向移动了s 力F做的功为W Fs 那么变力做功问题怎样解决 梳理如果物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a移动到x b a b 那么变力F x 所做的功为 2 在求变速直线运动的路程时 物体运动的速度一定为正 3 在计算变力做功时 不用考虑力与位移的方向 思考辨析判断正误 题型探究 类型一利用定积分求面积 解析 答案 因此 所求图形的面积为S S曲边梯形OABC S曲边梯形OABD 反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤 1 根据题意画出图形 2 找出范围 确定积分上 下限 3 确定被积函数 4 将面积用定积分表示 5 用微积分基本定理计算定积分 求出结果 解答 跟踪训练1求由抛物线y x2 4与直线y x 2所围成的图形的面积 所以直线y x 2与抛物线y x2 4的交点坐标为 3 5 和 2 0 设所求图形面积为S 解答 解画出图形 如图所示 得交点坐标分别为 1 1 0 0 3 1 反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形 一定要确定图形范围 通过解方程组求出交点的坐标 定出积分上 下限 若积分变量选x运算较烦琐 则积分变量可选y 同时要更换积分上 下限 解答 跟踪训练2求由曲线y x2 直线y 2x和y x所围成的图形的面积 类型二定积分在物理中的应用 例3一点在直线上从时刻t 0s开始以速度v t2 4t 3 v的单位 m s 运动 求 1 该点在t 4s时的位置 解答 解答 2 该点前4s走过的路程 反思与感悟 1 求变速直线运动的物体的路程 位移 方法 用定积分计算做直线运动物体的路程 要先判断速度v t 在时间区间内是否为正值 若v t 0 则运动物体的路程为s v t dt 若v t 0 则运动物体的路程为s v t dt v t dt 注意路程与位移的区别 2 求变力做功的方法步骤 首先要明确变力的函数式F x 确定物体在力的方向上的位移 利用变力做功的公式W F x dx计算 注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米 功的单位才为焦耳 解析 跟踪训练3一弹簧在弹性限度内 拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比 若20N的力能使弹簧伸长3cm 则把弹簧从平衡位置拉长13cm 在弹性限度内 时所做的功W为 答案 解析设拉伸弹簧所用的力为FN 弹簧伸长的长度为xm 则F kx 达标检测 1 2 3 4 5 解析 答案 1 由曲线y x2与直线y 2x所围成的平面图形的面积为 解析如图 画出曲线y x2和直线y 2x的图象 则所求面积S为图中阴影部分的面积 所以A 2 4 O 0 0 1 2 3 4 5 2 一物体在力F x 3x2 2x 5 力的单位 N 位移单位 m 的作用下沿与力F x 相同的方向由x 5m运动到x 10m 则F x 做的功为A 925JB 850JC 825JD 800J 解析依题意F x 做的功是 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 解析 答案 1 ln2 所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积 即S1 1 ln2 答案 解析 1 2 3 4 5 4 一辆汽车的速度 时间曲线如图所示 则汽车在1分钟内行驶的路程为 m 900 1 2 3 4 5 解析由速度 时间曲线得 所以汽车在1分钟内行驶的路程为 150 750 900m 解答 1 2 3 4 5 5 求由抛物线y x2 1 直线x 2 y 0所围成的图形的面积 解作出草图如图所示 所求图形的面积为图中阴影部分的面积 由x2 1 0 得抛物线与x轴的交点坐标是 1 0 和 1 0 因此所求图形的面积为 1 2 3 4 5 对于简单图形的面积求解 我们可直接运用定积分的几何意义 此时 1 确定积分上 下限 一般为两交点的横坐标 2 确定被积函数 一般是上曲线与下曲线对应函数的差 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积 定积分可正 可负或为零 而平面图形的面积总是非负的 规律与方法