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第一部分第三章第14讲 命题点1二次函数的实际应用1(xx云南22题9分)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为w元，求w的最大值解：(1)设y与x的函数关系式为ykxb，根据题意，得解得y与x的函数解析式为y2x340(20x40)(2)由已知得w(x20)(2x340)2x2380x6 8002(x95)211 250.20，当x95时，w随x的增大而增大20x40，当x40时，w最大，最大值为2(4095)211 2505 200元 命题点2二次函数与几何问题的综合探究2(xx昆明22题9分)如图，抛物线yax2bx过点B(1，3)，对称轴是直线x2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y0时，自变量x的取值范图；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PABA时，求PAB的面积解：(1)由题意，得解得抛物线的解析式为yx24x，令y0，得x24x0，解得x0或x4，点A的坐标为(4,0)，根据图象可知当y0时，自变量x的取值范图是0x4.(2)设直线AB的解析式为ymxn，则解得yx4，设直线AP的解析式为ykxc.PABA，k1，则有4c0，解得c4，yx4.解得或点P的坐标为(1,5)，在RtBAP中，AB3，AP5.SPABABAP3515.3(xx昆明23题12分)如图1，对称轴为直线x的抛物线经过B(2,0)，C(0,4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴上是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由对称性得点A的坐标为(1,0)，设抛物线的解析式为ya(x1)(x2)，把C(0,4)代入得42a，解得a2，y2(x1)(x2)，抛物线的解析式为y2x22x4.(2)如答图1，设点P(m，2m22m4)，过P作PDx轴，垂足为D，S四边形COBPS梯形CODPSPDB m(2m22m44)(2m22m4)(2m)2m24m42(m1)26.290，只能CMMQ.设直线BC的解析式为ykxb(k0)，把B(2,0)，C(0,4)代入ykxb，得解得直线BC的解析式为y2x4，设M(m，2m4)，则MQ2m4，OQm，BQ2m，在RtOBC中，BC2，MQOC, BMQBCO， 即，BM(2m)2m，CMBCBM2(2m)m.CMMQ，2m4m, m48，Q(48,0)； 图1 图2 图3答图当QMB90时，如答图3，CMQ90，只能CMMQ，同理可设M(m，2m4)，在RtCOB和RtQMB中，tanCBOtanMBQ2.又tanMBQ，由知BM2m，MQCMm，tanMBQ2，m42m，m，M(，)此时BM2m，MQ，BQ，OQBQOB2，Q(，0)综上所述，Q点坐标为(48,0)或(，0)4(xx曲靖23题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22axc交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,3)，tanOAC.(1)求抛物线的解析式；(2)点H是线段AC上任意一点，过H作直线HNx轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；(3)点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)C(0,3)，OC3.tanOAC，OA4, 点A的坐标为(4,0)把A(4,0)，C(0,3)代入yax22axc，得解得抛物线的解析式为yx2x3.(2)设AC的解析式为ykxb，把A(4,0)，C(0,3)代入ykxb，得解得AC的解析式为yx3.设点N的坐标为(x,0)，则点H的坐标为(x，x3)，点P的坐标为(x，x2x3)，PHx2x3(x3)x2x(x2)2.0, PH有最大值，PH最大.即线段PH的最大值是.(3)如答图，过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点G，则MGEMKC90，答图MEGEMG90.四边形CMEF是正方形，EMMC，EMC90，EMGCMK90，MEGCMK，MKCEGM，MGCK.由抛物线知对称轴为直线x1，设M点坐标为(x，x2x3)，则G点坐标为(1，x2x3)，K点坐标为(0，x2x3)，MG|x1|，CK|x2x33|x2x|x2x|，|x1|x2x|，x2x(x1)，x2xx1或x2xx1.解得x14，x2， x3，x42.代入抛物线解析式得y10，y2，y3，y40.点M的坐标是M1(4,0)，M2(，)，M3(，)，M4(2,0)5(xx昆明23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2xc(a0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是直线x.(1)求抛物线的解析式；(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MGx轴于点G，交AC于点H，当线段CMCH时，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角(0 90)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)x，b，a，把A(4,0)，a代入yax2xc，可得() 42 4c0，解得c2，则抛物线的解析式为yx2x2.(2)如答图1，连接CM，过C点作CEMH于点E.答图1yx2x2，当x0时，y2，C点的坐标是(0,2)，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，把A(4,0)，C(0,2)代入ykxb，得解得直线AC的解析式为yx2.点M在抛物线上，点H在AC上，MGx轴，设点M的坐标为(m，m2m2)，点H的坐标为(m，m2)，MHm2m2(m2)m22m.CMCH，OCGE2，MH2EH22(m2)m.又MHm22m，m22mm，即m(m2)0，解得m2或m0(不符合题意，舍去)，m2，当m2时，y 22 223，点M的坐标为(2,3)(3)存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与ABC相似，理由如下：抛物线与x轴交于A，B两点，A(4,0)，A，B两点关于直线x对称，B(1,0)AC2，BC，AB5，AC2BC2(2)2()225，AB25225.AC2BC2AB2，ABC为直角三角形，ACB90.线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NPx轴时，NPG90，设P点坐标为(n,0)，则N点坐标为(n，n2n2)，如答图2，当时，答图2N1P1GACB90，N1P1GACB，解得n13，n24(不符合题意，舍去)，点P1的坐标为(3,0)；当时，N2P2GBCA90，N2P2GBCA，解得n11，n21(不符合题意，舍去)，点P2的坐标为(1，0)综上所述：存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与ABC相似，点P的坐标为(3,0)或(1，0)
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