2020高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第5讲 幂函数与二次函数课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第五讲幂函数与二次函数 知识梳理 1 二次函数的图象和性质 b 0 2 幂函数 x x 0 x x 0 y y 0 y y 0 y y 0 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 0 0 0 0 0 1 1 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x ax2 bx c a 0 顶点式 f x a x m 2 n a 0 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 2 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立 的充要条件是 a 0 且 0 ax2 bx c 0 a 0 恒成立 的充要条件是 a 0 且 0 C D 3 已知f x ax b a 0 f 2 0 则y ax2 bx c a 0 的对称轴为 A x 2B x 2C x 1D x 1 C B 5 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 D 1 7 已知函数f x x2 2ax 3 若y f x 在区间 4 6 上是单调函数 则实数a的取值范围是 解析 由于函数f x 的图象开口向上 对称轴是x a 所以要使f x 在 4 6 上是单调函数 则 a 4或 a 6 即a 6或a 4 6 4 考点突破 考点1幂函数图象与性质 自主练透 1 2018 四川绵阳模拟 幂函数y m2 3m 3 xm的图象过点 2 4 则m A 2B 1C 1D 2 例1 D 2 若四个幂函数y xa y xb y xc y xd在同一坐标系中的图象如图所示 则a b c d的大小关系是 A d c b aB a b c dC d c a bD a b d c B B 1 幂函数的形式是y x R 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 3 在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 选择适当的函数 借助其单调性进行比较 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 考点2二次函数的解析式 师生共研 已知二次函数f x 满足f 1 x f 1 x 且f 0 0 f 1 1 求f x 的解析式 分析 依题条件 设出函数解析式用待定系数法求解 例2 解法二 两根式 对称轴方程为x 1 f 2 f 0 0 f x 0的两根分别为0 2 可设其解析式为f x ax x 2 又 f 1 1 可得a 1 f x x x 2 x2 2x 解法三 顶点式 由已知 可得顶点为 1 1 可设其解析式为f x a x 1 2 1 又由f 0 0 可得a 1 f x x 1 2 1 根据已知条件确定二次函数解析式 一般用待定系数法 选择规律如下 1 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 2 已知抛物线与x轴交于 2 0 4 0 两点 且过点 1 9 则抛物线解析式为 2x2 4 变式训练1 y x2 2x 8 解析 1 因为f x x a bx 2a bx2 a b 2 x 2a2 由f x 是偶函数可知 f x 的图象关于y轴对称 所以b 2或a 0 当a 0时 f x bx2与值域 4 矛盾 当b 2时 f x 2x2 2a2 又因为f x 的值域为 4 所以2a2 4 因此f x 2x2 4 2 因为抛物线与x轴交于 2 0 4 0 两点 所以可设二次函数解析式为y a x 2 x 4 又因为二次函数图象过点 1 9 所以9 a 1 2 1 4 解得 a 1 所以所求函数解析式为 y x 2 x 4 x2 2x 8 考点3二次函数的图象和性质 多维探究 角度1二次函数的图象一次函数y ax b与二次函数y ax2 bx c在同一坐标系中的图象大致是 例3 C 二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向 对称轴 顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别 角度2利用二次函数的图象和性质求参数已知f x x2 2x 5 1 若x R 则函数f x 的最小值为 2 若x 1 2 则函数f x 的最小值为 最大值为 3 若x t t 1 则函数f x 的最小值为 分析 对于 1 2 直接利用二次函数的图象性质求解 对于 3 由于函数f x 的对称轴确定为x 1 但函数的定义域不确定 因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论 例4 4 4 8 解析 1 f x x2 2x 5 x 1 2 4 4 f x 的最小值为4 2 f x 的对称轴为x 1 又1 1 2 f x min f 1 4 由二次函数的图象知 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 又f 1 1 2 2 1 5 8 f 2 22 2 2 5 5 f x max 8 f x min 4 引申 在 3 的条件下 求f x 的最大值 角度3二次函数中的恒成立问题 例5 2018 石家庄模拟 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 引申 若将 一切x值都有f x 0 改为 f x 0有解 呢 二次函数中恒成立问题的求解思路 1 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 分类求解 2 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否能分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 注 a f x 有解 a f x min a f x 有解 a f x max 变式训练2 D B A 名师讲坛 换变量 解决二次函数问题中的核心素养 2018 衡阳模拟 设奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 若函数f x t2 2at 1对所有的x 1 1 都成立 当a 1 1 时 则t的取值范围是 例6 D 解析 奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 在 1 1 上最大值是1 所以1 t2 2at 1 当t 0时 恒成立 当t 0时 则t2 2at 0成立 又a 1 1 令r a 2ta t2 a 1 1 当t 0时 r a 是减函数 故令r 1 0得t 2 当t 0时 r a 是增函数 故令r 1 0 解得t 2 综上知 t 2或t 2或t 0 转换变量有时会起到意想不到的效果 一般已知给出谁的范围 通常让它作变量 求谁的范围 谁做参数 已知f x x2 ax 1 当a 1 2 时恒有f x 3 则x的取值范围为 变式训练4