2019高考数学二轮复习专题八数学思想数学核心素养与数学文化第3讲分类讨论转化与化归思想课件.ppt

第3讲分类讨论 转化与化归思想 数学思想解读1 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结论 最终综合各类结果得到整个问题的解答 实质上分类讨论就是 化整为零 各个击破 再集零为整 的数学思想 2 转化与化归思想方法用在研究 解决数学问题时 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形 也就是转化到另一种情境使问题得到解决 这种转化是解决问题的有效策略 同时也是获取成功的思维方式 即2q2 q 1 0 探究提高1 指数函数 对数函数的单调性取决于底数a 因此 当底数a的大小不确定时 应分01两种情况讨论 2 利用等比数列的前n项和公式时 若公比q的大小不确定 应分q 1和q 1两种情况进行讨论 这是由等比数列的前n项和公式决定的 解析 1 当n 1时 a1 S1 2a1 2 解得a1 2 因为Sn 2an 2 当n 2时 Sn 1 2an 1 2 两式相减得 an 2an 2an 1 即an 2an 1 则数列 an 为首项为2 公比为2的等比数列 则S5 S4 a5 25 32 2 f 1 e0 1 即f 1 1 由f 1 f a 2 得f a 1 当a 0时 f a 1 ea 1 所以a 1 当 1 a 0时 f a sin a2 1 2 不妨设 PF1 4t F1F2 3t PF2 2t 其中t 0 若该曲线为椭圆 则有 PF1 PF2 6t 2a 若该曲线为双曲线 则有 PF1 PF2 2t 2a 探究提高1 圆锥曲线形状不确定时 常按椭圆 双曲线来分类讨论 求圆锥曲线的方程时 常按焦点的位置不同来分类讨论 2 相关计算中 涉及图形问题时 也常按图形的位置不同 大小差异等来分类讨论 解析若 PF2F1 90 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 若 F1PF2 90 则 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 所以 PF1 2 6 PF1 2 20 应用3由变量或参数引起的分类讨论 例3 已知f x x aex a R e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 若f x e2x对x R恒成立 求实数a的取值范围 解 1 f x 1 aex 当a 0时 f x 0 函数f x 是 上的单调递增函数 当a 0时 由f x 0得x lna 若x lna 则f x 0 当x lna 则f x 0 所以函数f x 在 lna 上的单调递增 在 lna 上的单调递减 当x0 g x 0 g x 在 0 上单调递增 当x 0时 1 e2x 0 g x 0 g x 在 0 上单调递减 所以g x max g 0 1 所以a 1 故a的取值范围是 1 探究提高1 1 参数的变化取值导致不同的结果 需对参数进行讨论 如含参数的方程 不等式 函数等 2 解析几何中直线点斜式 斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在 涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论 2 分类讨论要标准明确 统一 层次分明 分类要做到 不重不漏 训练3 已知函数f x 4x3 3tx2 6t2x t 1 x R 其中t R 当t 0时 求f x 的单调区间 解f x 12x2 6tx 6t2 因为t 0 所以分两种情况讨论 2 由题意 不妨设b 2 0 a cos sin 则a b 2 cos sin a b cos 2 sin 探究提高1 一般问题特殊化 使问题处理变得直接 简单 特殊问题一般化 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律 从而达到成批处理问题的效果 2 对于某些选择题 填空题 如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时 可以把题中变化的量用特殊值代替 即可得到答案 解析 1 取特殊数列 an 其中an n n N 显然a1 a8 8 a4 a5 20 应用2函数 方程 不等式之间的转化 例5 已知函数f x 3e x 若存在实数t 1 使得对任意的x 1 m m Z且m 1 都有f x t 3ex 试求m的最大值 解 当t 1 且x 1 m 时 x t 0 f x t 3ex ex t ex t 1 lnx x 原命题等价转化为 存在实数t 1 使得不等式t 1 lnx x对任意x 1 m 恒成立 函数h x 在 1 上为减函数 又x 1 m h x min h m 1 lnm m 要使得对任意x 1 m t值恒存在 只需1 lnm m 1 满足条件的最大整数m的值为3 探究提高1 函数与方程 不等式联系密切 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 2 解决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数与方程 不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 一般可将不等关系转化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范围 解析设点P x y 且A 12 0 B 0 6 又x2 y2 50 2x y 5 0 则点P在直线2x y 5 0上方的圆弧上 含交点 即点P在上 解析 1 设y f t log2x 1 t log2x 2 2log2x 1 则f t 是一次函数 当t 2 2 时 f t 0恒成立 2 g x 3x2 m 4 x 2 若g x 在区间 t 3 上总为单调函数 则 g x 0在 t 3 上恒成立 或 g x 0在 t 3 上恒成立 则m 4 1 即m 5 探究提高1 第 1 题是把关于x的函数转化为在 0 4 内关于t的一次函数大于0恒成立的问题 在处理多变元的数学问题时 我们可以选取其中的参数 将其看作是 主元 而把其它变元看作是参数 2 第 2 题是正与反的转化 由于不为单调函数有多种情况 先求出其反面 体现 正难则反 的原则 训练6 已知函数f x x3 3ax 1 g x f x ax 5 其中f x 是f x 的导函数 对满足 1 a 1的一切a的值 都有g x 0 则实数x的取值范围为 解析由题意 知g x 3x2 ax 3a 5 令 a 3 x a 3x2 5 1 a 1 对 1 a 1 恒有g x 0 即 a 0