2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线2.2.1抛物线及其标准方程课件北师大版选修.ppt

2抛物线 2 1抛物线及其标准方程 1 抛物线的定义 1 平面内与一个定点F和一条定直线l l不过F 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线 2 点F叫作抛物线的焦点 直线l叫作抛物线的准线 3 图形展示 名师点拨抛物线的定义可归纳为 一动三定 一个动点 设为点M 一个定点F 即抛物线的焦点 一条定直线 即抛物线的准线 一个定值 即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1 做一做1 平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是 A 抛物线B 直线C 抛物线或直线D 不存在答案 C 2 抛物线的标准方程y2 2px p 0 叫作抛物线的标准方程 这条抛物线的焦点在x轴正半轴上 焦点坐标是 它的准线方程是 特别提醒1 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离 所以p的值恒大于0 2 只有顶点在坐标原点 焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程 做一做2 1 抛物线y2 8px p 0 F是焦点 则p表示 A F到准线的距离D F到y轴的距离 2 抛物线y2 4x的焦点坐标为 3 若抛物线的准线方程为x 7 则抛物线的标准方程为 解析 1 化为标准形式y2 2 4p x p 0 则4p就是焦点F到准线的距离 所以p表示焦点F到准线的距离的 2 因为y2 4x 所以2p 4 即p 2 所以焦点坐标为 1 0 3 由题意可知 7 故p 14 且焦点在x轴正半轴上 所以抛物线的标准方程为y2 28x 答案 1 B 2 1 0 3 y2 28x 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 平面内与定点 1 0 和直线y x 1距离相等的点的轨迹是抛物线 2 抛物线与二次函数的图像是完全相同的 3 抛物线y2 8x的焦点坐标是 2 0 4 若抛物线的方程是x 4y2 则其中的焦参数p 2 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 1 过点A 1 0 且与直线l x 1相切的圆的圆心的轨迹是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 2 设点A是抛物线y2 4x上一点 点B 1 0 点M是线段AB的中点 若 AB 6 则M到直线x 1的距离为 分析 1 判断到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹是否是抛物线 要看定点与定直线的位置关系 2 利用抛物线的定义求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 1 如图 设动圆的圆心为M 由题意 M到直线l的距离等于圆的半径 MA 由抛物线的定义知 点M的轨迹是以A 1 0 为焦点 以直线l为准线的抛物线 2 B 1 0 是抛物线y2 4x的焦点 直线l x 1是抛物线的准线 过A作AA l于A 则 AA AB 6 则M到直线x 1的距离为答案 1 D 2 4反思感悟应用定义解决的两类问题 1 判断动点的轨迹的类型 2 利用抛物线的定义 将到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1若点P到点F 4 0 的距离比它到定直线x 5 0的距离小1 则点P的轨迹方程是 A y2 16xB y2 32xC y2 16xD y2 32x解析 点P到点F 4 0 的距离比它到定直线x 5 0的距离小1 点P到F 4 0 的距离等于它到定直线x 4的距离 点P的轨迹方程为y2 16x 答案 C 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程 2 以x轴为对称轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 分析对于 1 需要确定p的值 因为点在第四象限 所以抛物线的标准方程可设为y2 2px p 0 对于 2 因为标准方程的焦点在x轴上 所以求出直线3x 4y 12 0与x轴的交点 4 0 即可求出 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求抛物线标准方程的常用方法 1 直接法 建立恰当的坐标系 利用抛物线的定义列出动点满足的条件 写出对应方程 化简方程可得 2 待定系数法 根据已知条件设出抛物线的标准方程 再根据题干中的条件 求出参数p 3 定义法 直接根据定义求p 最后写出标准方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F作倾斜角为60 的直线l 交抛物线于A B两点 且 FA 3 则抛物线的方程是 答案 y2 3x 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 设点P是抛物线y2 4x上的一个动点 F为抛物线的焦点 1 求点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值 2 若点B的坐标为 3 2 求 PB PF 的最小值 分析 1 中将点P到直线x 1的距离转化为到焦点的距离 2 中将点P到点F的距离转化为点P到准线的距离 这是解答本题的关键 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 如图 所示 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线方程是x 1 由抛物线的定义知点P到直线x 1的距离等于点P到焦点F的距离 于是问题转化为 在曲线上求一点P 使点P到点A 1 1 的距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 显然 连接AF AF与抛物线的交点即为点P 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 如图 所示 把点B的横坐标代入y2 4x中 得y 2 因为2 2 所以点B在抛物线内部 过点B作BQ垂直于准线 垂足为Q 交抛物线于点P1 连接P1F 此时 由抛物线的定义知 P1Q P1F 所以 PB PF P1B P1Q BQ 3 1 4 即 PB PF 的最小值为4 反思感悟解关于抛物线的最值 定值问题时 首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化 其次是注意平面几何知识的应用 例如两点之间线段最短 三角形中三边之间的不等关系 点与直线上点的连线中垂线段最短等 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知点P在抛物线y2 4x上 那么点P到点Q 2 1 的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时 点P的坐标为 解析 点Q 2 1 在抛物线内部 如图所示 由抛物线的定义知 抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x 1的距离 过Q点作x 1的垂线 与抛物线交于K 则K为所求 当y 1时 x 答案 A 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因没有理解方程中p值的几何意义而导致失误 典例 从抛物线y2 8x上一点P引抛物线准线的垂线 垂足为M 且 PF 5 F为抛物线的焦点 则 MPF的面积为 易错分析易误认为p 8 导致p的值求错 而致使最后结果错误 解析 抛物线为y2 8x 2p 8 p 4 准线方程为x 2 设P x0 y0 由抛物线定义得 PF PM x0 2 5 纠错心得1 正确掌握抛物线的标准方程 认清p的几何意义 2 理解抛物线的定义 合理进行到焦点与到准线的距离的转化 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知点P到F 4 0 的距离和到直线x 5的距离相等 求点P的轨迹方程 整理得y2 18x 9 即y2 18x 9为所求轨迹方程 12345 1 在直角坐标平面内 到点 1 1 和直线x 2y 3距离相等的点的轨迹是 A 直线B 抛物线C 圆D 椭圆解析 定点 1 1 在直线x 2y 3上 轨迹为直线 答案 A 12345 2 设抛物线y2 8x上一点P到y轴的距离是4 则点P到该抛物线焦点的距离是 A 4B 6C 8D 12解析 如图所示 抛物线的焦点坐标为F 2 0 准线方程为x 2 PE垂直于准线且垂足为E 由抛物线的定义知 PF PE 4 2 6 答案 B 12345 3 已知抛物线的顶点在原点 焦点在x轴的正半轴上 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离等于5 则抛物线的标准方程和m的值分别为和 12345 12345 4 已知圆x2 y2 6x 7 0与抛物线y2 2px p 0 的准线相切 则p 解析 由x2 y2 6x 7 0 得 x 3 2 y2 16 答案 2 12345 5 已知动圆M与直线x 2相切 且与定圆C x 3 2 y2 1外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解设动圆圆心为M x y 半径为r 则由题意可得M到C 3 0 的距离与到直线x 3的距离相等 则动圆圆心的轨迹是以C 3 0 为焦点 x 3为准线的一条抛物线 其方程为y2 12x