2019版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第7节 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 北师大版.ppt

第7节立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 最新考纲1 理解直线的方向向量及平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 知识梳理 非零向量 2 空间位置关系的向量表示 n1 n2 0 n m 0 n m 0 常用结论与微点提醒 1 用向量知识证明立体几何问题 仍离不开立体几何中的定理 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 2 用向量证明立体几何问题 写准点的坐标是关键 要充分利用中点 向量共线 向量相等来确定点的坐标 1 思考辨析 在括号内打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 若直线a的方向向量和平面 的法向量平行 则a 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若直线a的方向向量与平面 的法向量垂直 则a 解析 1 直线的方向向量不是唯一的 有无数多个 2 a 3 两平面平行或重合 4 a 或a 答案 1 2 3 4 诊断自测 2 教材练习改编 已知平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 A B C 相交但不垂直D 以上均不对解析 n1 n2 且n1 n2 2 3 3 1 5 4 23 0 相交但不垂直 答案C 3 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为n 2 0 4 则 A l B l C l D l与 斜交解析 a 1 0 2 n 2 0 4 n 2a 即a n l 答案B 答案C 5 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面正方形ABCD的中心 M是D1D的中点 N是A1B1的中点 则直线ON AM的位置关系是 答案垂直 证明法一如图 取BD的中点O 以O为原点 OD OP所在射线分别为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 法二在线段CD上取点F 使得DF 3FC 连接OF 同法一建立空间直角坐标系 写出点A B C的坐标 设点C坐标为 x0 y0 0 规律方法1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 训练1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E F G分别为AB AD AA1的中点 求证 平面EFG 平面B1CD1 证明建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 D 0 0 0 A1 1 0 1 B1 1 1 1 D1 0 0 1 设n1 x1 y1 z1 为平面EFG的法向量 n2 x2 y2 z2 为平面B1CD1的一个法向量 令x1 1 可得y1 1 z1 1 同理可得x2 1 y2 1 z2 1 则n1 1 1 1 n2 1 1 1 由n1 n2 得平面EFG 平面B1CD1 考点二利用空间向量证明垂直问题 例2 如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧面PBC 底面ABCD 证明 1 PA BD 2 平面PAD 平面PAB 证明 1 取BC的中点O 连接PO 平面PBC 底面ABCD BC为交线 PO 平面PBC PBC为等边三角形 即PO BC PO 底面ABCD 以BC的中点O为坐标原点 以BC所在直线为x轴 过点O与AB平行的直线为y轴 OP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 又 PA PB P PA PB 平面PAB DM 平面PAB DM 平面PAD 平面PAD 平面PAB 规律方法1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 证明由题设易知OA OB OA1两两垂直 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系 所以A1C BD A1C BB1 又BD BB1 B BD BB1 平面BB1D1D 所以A1C 平面BB1D1D 1 证明因为平面PAD 平面ABCD AB AD 所以AB 平面PAD 所以AB PD 又因为PA PD且AB PA A PA AB 平面PAB 所以PD 平面PAB 2 解取AD的中点O 连接PO CO 因为PA PD 所以PO AD 又因为PO 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 所以PO 平面ABCD 因为CO 平面ABCD 所以PO CO 因为AC CD 所以CO AD 如图 建立空间直角坐标系O xyz 由题意得 A 0 1 0 B 1 1 0 C 2 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 命题角度2与垂直有关的探索性问题 例3 2 如图 正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直 已知BC 4 AB AD 2 1 求证 AC BF 1 证明 平面ADEF 平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD AF AD AF 平面ADEF AF 平面ABCD 又AC 平面ABCD AF AC AB AF A AB AF 平面FAB AC 平面FAB BF 平面FAB AC BF 假设在线段BE上存在一点P满足题意 则易知点P不与点B E重合 训练3 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1C1C是边长为4的正方形 平面ABC 平面AA1C1C AB 3 BC 5 1 求证 AA1 平面ABC 证明 1 因为AA1C1C为正方形 所以AA1 AC 因为平面ABC 平面AA1C1C AA1 平面AA1C1C 且AA1垂直于这两个平面的交线AC 所以AA1 平面ABC 2 由 1 知AA1 AB AA1 AC 由题知AB 3 BC 5 AC 4 所以AB AC 如图 以A为原点建立空间直角坐标系A xyz 则B 0 3 0 A1 0 0 4 B1 0 3 4 C1 4 0 4