2019版高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第7讲 离散型随机变量的均值与方差配套课件 理.ppt

第7讲离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量的均值和方差 一般地 若离散型随机变量X的分布列为 则称E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 均值和方差的性质设a b是常数 随机变量X Y满足Y aX b 则E Y E aX b D Y D aX b a2D X aE X b 3 两点分布及二项分布的均值和方差 p np 1 若X服从两点分布 则E X D X p 1 p 2 若X B n p 则E X D X np 1 p 1 已知 的分布列为 D 则E A 0C 1 B 0 2D 0 3 2 已知随机变量 的分布列是 则D B A 0 6 B 0 8 C 1 D 1 2 解析 E 1 0 4 2 0 2 3 0 4 2 则D 1 2 2 0 4 2 2 2 0 2 3 2 2 0 4 0 8 3 2014年浙江 随机变量 的取值为0 1 2 若P 0 15 E 1 则D 4 2017年新课标 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取100次 X表示抽到的 二等品件数 则D X 1 96 解析 由题意可得 抽到二等品的件数符合二项分布 即X B 100 0 02 由二项分布的期望方差公式 可得D X np 1 p 100 0 02 0 98 1 96 考点1 离散型随机变量的期望与方差 例1 2016年天津 某小组共10人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3的人数分别为3 3 4 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会 1 设A为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4 求事件A发生的概率 2 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量X的分布列和数学期望 规律方法 1 一般地 若离散型随机变量X的分布列为 则称E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 求数学期望 均值 的关键是求出其分布列 若已知离散型分布列 可直接套用公式E X x1p1 x2p2 xipi xnpn求其均值 随机变量的均值是一个常数 它不依赖于样本的抽取 只要找准随机变量及相应的概率即可计算 互动探究 1 2017年浙江 已知随机变量 i满足P i 1 pi P i 0 A E 1 D 2 C E 1 E 2 D 1 E 2 D 1 D 2 A 解析 E 1 p1 E 2 p2 E 1 E 2 D 1 p1 1 p1 D 2 p2 1 p2 D 1 D 2 p1 p2 1 p1 p2 0 即D 1 D 2 故选A 考点2 超几何分布的期望和方差 例2 2017年广东珠海二模 某校为了解校园安全教育系列活动的成效 对全校学生进行了一次安全意识测试 根据测试成绩评定 合格 不合格 两个等级 同时对相应等级进行量化 合格 记5分 不合格 记0分 现随机抽取部分学生的答卷 统计结果及对应的频率分布直方图如图9 7 1 图9 7 1 1 求a b c的值 2 用分层抽样的方法 从评定等级为 合格 和 不合格 的学生中随机抽取10人进行座谈 现再从这10人这任选4人 记所选4人的量化总分为 求 的分布列及数学期望E 来评估该校安全教育活动的成效 若M 0 7 则认定教育活动是有效的 否则认定教育活动无效 应调整安全教育方案 在 2 的条件下 判断该校是否应调整安全教育方案 互动探究 2 2017年湖北八校联考 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查 随机抽取100名市民 按年龄 单位 岁 进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图9 7 2 图9 7 2 1 求频率分布表中x y的值 并补全频率分布直方图 2 在抽取的这100名市民中 按年龄进行分层抽样 抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查 现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份 设这2名市民中年龄在 35 40 内的人数为X 求X的分布列及数学期望 解 由图知 P 25 x 30 0 01 5 0 05 故x 100 0 05 5 P 30 x 35 1 0 05 0 35 0 3 0 1 1 0 8 0 2 补全频率分布直方图略 2 各层之间的比为5 20 35 30 10 1 4 7 6 2 且共抽取20人 年龄在 35 40 内抽取的人数为7人 考点3 二项分布的期望和方差 例3 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为X 求X 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 2 方法一 设小明 小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1 都选择方案乙抽奖中奖次数为X2 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E 2X1 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E 3X2 因为E 2X1 E 3X2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的数学期望较大 方法二 设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1 都选择方案乙所获得的累计得分为Y2 则Y1 Y2的分布列为 因为E Y1 E Y2 所以两人都选择方案甲抽奖 累计得分的数学期望较大 规律方法 1 求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果 B n p 那么用公式E np D np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用E a b aE b以及E np求出E a b 同样还可求出D a b 互动探究 3 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销 售量的频率分布直方图 如图9 7 3 图9 7 3 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售 量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率 2 用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量X的分布列 数学期望E X 及方差D X 解 1 设A1表示事件 日销售量不低于100个 A2表示事件 日销售量低于50个 B表示事件 在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个 因此 P A1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 P A2 0 003 50 0 15 P B 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 X可能取的值为0 1 2 3 相应的概率为 分布列为 因为X B 3 0 6 所以数学期望E X 3 0 6 1 8 方差D X 3 0 6 1 0 6 0 72 思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望 例题 2014年湖北 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水的年入流量X 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求在未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概 率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最 多可运行台数受年入流量X限制 并有如下关系 若某台发电机运行 则该台年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 2 记水电站年总利润为Y万元 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40 故1台发电机运行的概率为 1 对应的年利润Y 5000 E Y 5000 1 5000 安装2台发电机的情形 依题意 当40 X 80时 1台发电机运行 此时Y 5000 800 4200 因此P Y 4200 P 40 X 80 p1 0 2 当X 80时 2台发电机运行 此时Y 5000 2 10000 因此P Y 10000 P X 80 p2 p3 0 8 由此得Y的分布列如下 所以E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安装3台发电机的情形 依题意 当40120时 3台发电机运行 此时Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 综上所述 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装 发电机2台 规律方法 本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力 关键在于如何迅速 准确将信息提取 加工 构建数学模型 化归为数学期望问题 互动探究 4 某社区为丰富居民节日活动 组织了 迎新春 象棋大赛 已知由1 2 3号三位男性选手和4 5号两位女性选手组成混合组参赛 已知象棋大赛共有三轮 设三位男性选手在一至 1 若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛 每名选手只比赛一局 共五局比赛 求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率 2 若一位男性选手因身体不适退出比赛 剩余四人参加个人比赛 比赛结果相互不影响 设X表示该组选手在四轮中胜出的人数 求随机变量X的分布列和数学期望 所以X的分布列为