2019版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系 2.4.1 空间直角坐标系课件 新人教B版必修2.ppt

2 4空间直角坐标系2 4 1空间直角坐标系 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 知识探究 1 空间直角坐标系 1 为了确定空间点的位置 我们在平面直角坐标系xOy的基础上 通过原点O 再作一条数轴z 使它与x轴 y轴都垂直 这样它们中的任意两条都 轴的方向通常这样选择 从z轴的正方向看 x轴的正半轴沿时针方向转90 能与y轴的正半轴重合 这时 我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz O叫做坐标原点 互相垂直 点击进入情境导学 逆 2 过空间中的任意一点P 作一个平面平行于平面yOz 这个平面与x轴的交点记为Px 它在x轴上的坐标为x 这个数x就叫做点P的 过点P作一个平面平行于平面xOz 这个平面与y轴的交点记为Py 它在y轴上的坐标为y 这个数y就叫做点P的 过点P作一个平面平行于坐标平面xOy 这个平面与z轴的交点记为Pz 它在z轴上的坐标为z 这个数z就叫做点P的 这样 我们对空间中的一个点 定义了三个实数的有序数组作为它的坐标 记作 每两条坐标轴分别确定的平面 叫做坐标平面 x坐标 y坐标 z坐标 P x y z yOz xOz xOy 2 空间特殊平面与特殊直线xOy平面是坐标形如的点构成的点集 xOz平面是坐标形如的点构成的点集 yOz平面是坐标形如的点构成的点集 x轴是坐标形如的点构成的点集 y轴是坐标形如的点构成的点集 z轴是坐标形如的点构成的点集 其中 x y z为任意的实数 3 空间结构三个坐标平面把空间分为部分 每一部分称为一个 在坐标平面xOy上方 分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第 卦限 在下方的卦限称为第 卦限 x y 0 x 0 z 0 y z x 0 0 0 y 0 0 0 z 卦限 八 拓展延伸 空间中的对称问题空间中点关于坐标平面 点关于轴 点关于点的对称点如下 A x y z 关于坐标平面xOy对称的点为A1 x y z A x y z 关于坐标平面yOz对称的点为A2 x y z A x y z 关于坐标平面xOz对称的点为A3 x y z A x y z 关于x轴对称的点为A4 x y z A x y z 关于y轴对称的点为A5 x y z A x y z 关于z轴对称的点为A6 x y z A x y z 关于原点对称的点为A7 x y z 因此 我们可以总结出如下规律 某面对称某不变 如A x y z 关于坐标平面xOy对称的点为A1 x y z 这里x y的符号不变 某轴对称某不变 如A x y z 关于y轴对称的点为A5 x y z 这里y的符号不变 原点对称均相反 如A x y z 关于原点对称的点为A7 x y z 这里x y z都变为其相反数 这些规律要结合图形记忆 不能死记硬背 自我检测 C 1 有下列叙述 在空间直角坐标系中 在Ox轴上的点的坐标一定是 0 b 0 在空间直角坐标系中 在yOz平面上的点的坐标一定可写成 0 b c 在空间直角坐标系中 在Oz轴上的点的坐标可记为 0 0 c 在空间直角坐标系中 在xOz平面上的点的坐标可写为 a 0 c 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由空间直角坐标系中各坐标的定义知 错误 应为 a 0 0 均正确 故选C C 2 在如图所示的空间直角坐标系的直观图中 正确的个数为 解析 由空间直角坐标系的画法知 3 错误 x轴与y轴应互换 1 2 4 均正确 即符合右手直角坐标系 故选C A 1 B 2 C 3 D 4 D 3 在空间直角坐标系中 点A 1 0 1 在 A x轴上 B xOy平面上 C yOz平面上 D xOz平面上 解析 由于y 0 故该点在xOz平面上 故选D 4 在空间直角坐标系中 点P 1 2 3 在xOy平面上的投影的坐标为 在z轴上的投影的坐标为 关于原点的对称点为 解析 在xOy平面上的投影坐标为 1 2 0 在z轴上投影的坐标为 0 0 3 关于原点的对称点为 1 2 3 答案 1 2 0 0 0 3 1 2 3 类型一 点的坐标与点的位置的相互确定 课堂探究 素养提升 例1 设长方体ABCD A B C D 如图所示 长 宽 高分别为 AB 4cm AD 3cm AA 5cm N是线段CC 的中点 分别以AB AD AA 所在的直线为x轴 y轴 z轴 以1cm为单位长 建立空间直角坐标系 1 求点A B C D A B C D 的坐标 2 求点N的坐标 解 1 A B C D都在平面xOy内 z坐标都为0 它们在x轴 y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是 0 0 4 0 4 3 0 3 因此空间坐标分别是A 0 0 0 B 4 0 0 C 4 3 0 D 0 3 0 A B C D 同在一个垂直于z轴的平面内 这个平面与z轴的交点A 的z坐标是5 故这四点的z坐标都是5 从这四点分别作xOy平面的垂线交xOy平面于A B C D四点 故A B C D 的x y坐标分别与A B C D的相同 由此可知它们的空间坐标分别是A 0 0 5 B 4 0 5 C 4 3 5 D 0 3 5 2 N是线段CC 的中点 有向线段CN的方向与z轴正方向相同 CN 2 5 因此N的z坐标为2 5 C在xOy平面内的平面坐标为 4 3 这就是N的x y坐标 故N的空间坐标为 4 3 2 5 方法技巧 求空间一点M的坐标 常用方法是 过M作MM1垂直于xOy平面 垂足为M1 求出M1的x坐标和y坐标 再求出点M的z坐标 于是得到M点的坐标 x y z 注意z坐标的正负 由本题看出 借助长方体写出空间坐标很方便 变式训练1 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 D1B1的中点 棱长为1 建立空间直角坐标系 求E F点的坐标 类型二 空间中点的对称问题 例2 在空间直角坐标系中 给定点M 1 2 3 求它分别关于坐标平面 坐标轴和原点的对称点的坐标 解 过M作MA 平面xOy于点A 并延长MA到点B 使 MA AB 则M点与B点关于平面xOy对称 所以B 1 2 3 即点M关于xOy平面的对称点的坐标为 1 2 3 同理 点M关于xOz平面的对称点的坐标为 1 2 3 点M关于yOz平面的对称点的坐标为 1 2 3 过M作MC x轴于点C 并延长MC到点D 使 MC CD 则M点与D点关于x轴对称 所以D 1 2 3 即点M关于x轴对称的点的坐标为 1 2 3 同理 点M关于y轴对称的点的坐标为 1 2 3 点M关于z轴对称的点的坐标为 1 2 3 连接MO并延长到点E 使 MO OE 则M点与E点关于原点对称 所以E 1 2 3 即点M关于原点对称的点的坐标为 1 2 3 变式训练2 1 已知点A 3 1 4 分别写出点A关于原点 x轴 y轴 z轴和xOz平面的对称点 解 A 3 1 4 关于原点的对称点为 3 1 4 A点关于x轴 y轴 z轴的对称点分别为 3 1 4 3 1 4 3 1 4 A点关于xOz平面的对称点为 3 1 4 类型三 空间轨迹问题 例3 设x为任意实数 相应的所有点P x 2 3 构成的集合是什么图形 解 取点A 0 2 0 过点A作与y轴垂直的平面 则该平面上每一点的y坐标都是2 取点B 0 0 3 过点B作与z轴垂直的平面 则该平面上每一点的z坐标都是3 由 l 可知直线l与平面yOz交于点C 0 2 3 且直线l上任意一点的坐标均可写成 x 2 3 的形式 故所有点P x 2 3 表示的集合是过点C 0 2 3 且与x轴平行的直线 方法技巧当动点P x y z 的坐标分量中有两个是常数时 它表示两个平面的交线 即一条线 若三个坐标分量都是常数 它就表示三个平面的公共点 即一个定点 变式训练3 1 在空间直角坐标系中 求出经过点A 2 3 1 且平行于坐标平面yOz的平面 的方程 解 因为坐标平面yOz x轴 而平面 与坐标平面yOz平行 所以平面 也与x轴垂直 所以平面 内的所有点在x轴上的射影都是同一点 即平面 与x轴的交点 所以平面 内的所有点的横坐标都相等 因为平面 过点A 2 3 1 所以平面 内的所有点的横坐标都是2 所以平面 的方程为x 2 谢谢观赏