2019届高考数学二轮复习 专题一 三角函数及解三角形 1.1.2 三角恒等变换与解三角形课件 文.ppt

第二讲三角恒等变换与解三角形 热点题型1三角恒等变换与求值 感悟经典 典例 1 已知sin cos 则sin2 A B C D 2 2017 北京高考 在平面直角坐标系xOy中 角 与角 均以Ox为始边 它们的终边关于y轴对称 若sin 则cos 3 2018 浙江高考 已知角 的顶点与原点O重合 始边与x轴的非负半轴重合 它的终边过点P 1 求sin 的值 2 若角 满足sin 求cos 的值 联想解题 1 看到sin2 想到降幂公式 2 1 因为角 与角 的终边关于y轴对称 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 2 代入余弦差角公式求解即可 3 1 看到角 的终边过点P 想到三角函数的定义 看到求sin 想到诱导公式 2 看到求cos 想到 再利用差的余弦公式求解 规范解答 1 选B 由sin cos 两边平方得1 sin2 解得sin2 所以sin2 2 因为角 与角 的终边关于y轴对称 所以 2k k Z 那么sin sin cos cos 所以cos cos cos sin sin cos2 sin2 2sin2 1 答案 3 1 由角 的终边过点P 得sin 所以sin sin 2 由角 的终边过点P 得cos 由sin 得cos 由 得cos cos cos sin sin 所以cos 或cos 规律方法 三角恒等变换的基本思路 1 异化同 切化弦 1的代换 是三角恒等变换的常用技巧 异化同 是指 化异名为同名 化异次为同次 化异角为同角 2 角的变换是三角变换的核心 如 2 等 3 常用的两角间的关系 若 可看作 互余 若 可看作 互补 从对称角度 若 与 的终边关于y轴对称 则 2k k Z 若 与 的终边关于x轴对称 则 0 2k k Z 若 与 的终边关于原点对称 则 2k k Z 对点训练 1 若sin cos2 则sin2 的值可以为 A 或1B C D 解析 选A 方法一 由已知得 sin cos sin2 cos2 所以sin cos 或sin cos 0 解得sin2 或1 方法二 由已知得sin sin 2 2sin cos 所以cos 或sin 0 则sin2 cos 2 2cos2 1 2 1 或sin2 1 2 2018 江苏高考 已知 为锐角 tan cos 1 求cos2 的值 2 求tan 的值 解析 1 因为tan tan 所以sin cos 因为sin2 cos2 1 所以cos2 因此 cos2 2cos2 1 2 因为 为锐角 所以a 0 又因为cos 所以sin 因此tan 2 因为tan 所以tan2 因此 tan tan 2 提分备选 1 2018 株洲二模 若 则3cos2 sin 则sin2 的值为 A B C D 解析 选D 由3cos2 sin 可得3cos2 cos sin 3 cos2 sin2 cos sin 因为 所以sin cos 0 上式化为 sin cos 两边平方可得1 sin2 所以sin2 2 2018 石家庄二模 设 0 且满足sin cos cos sin 1 则sin 2 sin 2 的取值范围为 A 1 B 1 C 1 1 D 1 解析 选C 因为sin cos sin cos sin 1 0 所以 可得 0 所以 0 所以 又因为 所以 所以cos 所以sin 2 sin 2 sin sin cos sin cos 1 1 热点题型2解三角形 感悟经典 典例 1 2018 江苏高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c ABC 120 ABC的平分线交AC于点D 且BD 1 则4a c的最小值为 2 2017 全国卷 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知sinA cosA 0 a 2 b 2 1 求c 2 设D为BC边上一点 且AD AC 求 ABD的面积 联想解题 1 看到角平分线 想到面积法解题 2 1 由题意首先求得A 然后利用余弦定理列方程 边长取方程的正实数根可得c 4 2 利用题意首先求得 ACD的面积 然后结合 ABC的面积可求得 ABD的面积为 规范解答 1 由面积得 acsin120 asin60 csin60 化简得a c ac c a 1 4a c 4a 4a 1 4 a 1 5 2 5 9 当且仅当4 a 1 即a c 3时取等号 答案 9 2 1 因为sinA cosA 0 所以sinA cosA 所以tanA 因为A 0 所以A 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 代入a 2 b 2得c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 所以c 4 2 由 1 知c 4 因为c2 a2 b2 2abcosC 所以16 28 4 2 2 2 cosC 所以cosC 所以sinC 所以tanC 在Rt CAD中 tanC 所以 即AD 则S ADC 2 由 1 知S ABC bc sinA 2 4 2 所以S ABD S ABC S ADC 2 规律方法 正 余弦定理的应用思路 1 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 2 如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时 则考虑用正弦定理 3 以上特征都不明显时 要考虑两个定理都有可能用到 另外 解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 对点训练 1 2018 北京高考 若 ABC的面积为 a2 c2 b2 且 C为钝角 则 B 的取值范围是 解析 由余弦定理 a2 c2 b2 2accosB ABC的面积S a2 c2 b2 2accosB 又S acsinB 所以cosB sinB 因为角C为钝角 所以cosB 0 所以tanB 又0 B 所以B 由正弦定理 又sinC sin A B sinAcosB sinBcosA sinA cosA 所以 因为B A B C 所以A C A C 又02 即的取值范围是 2 答案 2 2 2018 天津高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知bsinA acos 1 求角B的大小 2 设a 2 c 3 求b和sin 2A B 的值 解析 1 在 ABC中 由正弦定理 可得bsinA asinB 又由bsinA acos 得asinB acos 即sinB cos 所以sinB cosB sinB 可得tanB 又因为B 0 可得B 2 在 ABC中 由余弦定理及a 2 c 3 B 有b2 a2 c2 2accosB 7 故b 由bsinA acos 可得sinA 因为a c 故cosA 因此sin2A 2sinAcosA cos2A 2cos2A 1 所以 sin 2A B sin2AcosB cos2AsinB 提分备选 如图 在平面四边形ABCD中 AB 1 BC 1 AD ABC 120 DAB 75 则CD A B 2C 2D 1 解析 选A 过D作DE AB于点E 过C作CF AB交AB延长线于点F 则DE CF CBF 60 DE ADsinA CF BCsin CBF 1 所以四边形DEFC是矩形 所以CD EF AB AE BF 因为AE ADcosA BF BCcos CBF 1 所以CD 1 数学运算 解三角形的综合问题中的数学素养 相关链接 解三角形的综合问题的常见题型1 解三角形和三角函数 三角恒等变换的综合问题 2 解三角形和函数 方程的综合问题 3 解三角形与向量的综合问题 4 解三角形的实际应用 命题角度1 解三角形与其他知识的综合问题 典例1 2017 全国卷 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 已知sin A C 8sin2 1 求cosB 2 若a c 6 ABC的面积为2 求b 规范解答 1 由题设及A B C 得 sinB 8sin2 故sinB 4 1 cosB 上式两边平方 整理得17cos2B 32cosB 15 0 解得cosB 1 舍去 cosB 2 由cosB 得sinB 故S ABC acsinB ac 又S ABC 2 则ac 由余弦定理及a c 6得 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 1 cosB 36 2 4 所以b 2 典例2 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 a c 1 求角B的大小 2 若 求 ABC面积的最大值 规范解答 1 a c 可化为 a c cosB cosC 即 a c cacosB cabcosC 所以 a c cosB bcosC 根据正弦定理有 sinA sinC cosB sinBcosC 所以sinAcosB sin C B 即sinAcosB sinA 因为sinA 0 所以cosB 即B 2 因为 所以 即b2 6 根据余弦定理b2 a2 c2 2accosB 可得6 a2 c2 ac 有基本不等式可知6 a2 c2 ac 2ac ac 2 ac 即ac 3 2 故 ABC的面积S acsinB ac 即当a c 时 ABC的面积的最大值为 命题角度2 解三角形的实际应用 典例3 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西60 方向的B处 且与岛屿A相距12海里 渔船乙以10海里 时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 此时到达C处 1 求渔船甲的速度 2 求sin 的值 解析 1 依题意知 BAC 120 AB 12海里 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 海里 所以渔船甲的速度为 14 海里 时 2 由 1 知BC 28海里 在 ABC中 BCA 由正弦定理得 即sin 规律方法 1 解三角形的一般思路 1 根据正 余弦定理把边的关系都转化为角的关系 通过三角恒等变换解决问题 2 根据正 余弦定理把角的关系转化为边的关系 通过代数变换解决问题 2 解三角形的实际应用问题的求解关键关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中 然后利用正 余弦定理求解 通关题组 1 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的两根 2cos A B 1 则 ABC的面积为 A B C D 解析 选C 因为在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且a b是方程x2 2x 2 0的两根 所以ab 2 又2cos A B 1 所以A B 60 C 120 所以 ABC的面积为 absinC 2 已知 ABC中 AB AC 3 cos ABC 若圆O的圆心在边BC上 且与AB和AC所在的直线都相切 则圆O的半径为 A B C D 解析 选B 如图 易得BC 4 由于 ABC为等腰三角形 故O应为BC中点 本题即求BC中点O到AB距离 因为cos ABC 所以sin ABO BO AB cos ABO 2 由S ABO AB BO sin ABO AB r 可得 3 2 3 r 解得r 3 2018 浙江高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若a b 2 A 60 则sinB c 解析 由正弦定理得 得sinB 由余弦定理得cosA 解得c 3 答案 3 提分备选 2018 北京高考 在 ABC中 a 7 b 8 cosB 1 求 A 2 求AC边上的高 解析 方法一 1 由余弦定理 cosB 解得c 5 舍 或c 3 所以cosA 又因为0 A 所以A 2 设AC边上的高为h 则sinA 所以h csinA 3 sin 即AC边上的高为 方法二 1 因为cosB 0 sinB 由正弦定理 即sinA sinB 又因为0 A 所以A 2 设AC边上的高为h 则h asinC 由 1 及已知 sinC sin A B sinAcosB sinBcosA 所以h asinC 7 即AC边上的高为