高考数学总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理.ppt

第7讲 空间中角与距离的计算 空间向量的应用 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平 面的垂直 平行关系 3 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究几何问题中的作用 1 异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的锐角或直角 叫做异面直线a与b所 0 90 成的角 其范围是 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成 的角等于0 90 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2 直线与平面所成的角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是 直角的二面角叫做 直二面角 4 点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 求点到平面的距离通常运用等积法 即构造一个三棱锥 将点到平面的距离转化为三棱锥的高 5 直线与平面平行 那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 3 二面角 1 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为 平面 的法向量的是 B A 0 1 2 B 3 6 9 C 1 2 3 D 3 6 8 解析 向量 1 2 3 与向量 3 6 9 共线 2 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向 C A 4C 8 B 6D 8 3 已知平面 上的两个向量a 2 3 1 b 5 6 4 则平面 的一个法向量为 A 1 1 1 C 2 1 1 B 2 1 1 D 1 1 1 C 4 如图8 7 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 图8 7 1 考点1 线面所成角的计算 例1 2014年福建 在平面四边形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 将 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图8 7 2 1 求证 AB CD 2 若M为AD中点 求直线AD与 平面MBC所成角的正弦值 图8 7 2 1 证明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD AB 平面BCD 又CD 平面BCD AB CD 2 解 如图D41 过点B在平面BCD内作BE BD 图D41 由 1 知 AB 平面BCD BE 平面BCD BD 平面BCD AB BE AB BD 设平面MBC的法向量n x0 y0 z0 规律方法 求直线与平面所成的角 大致有两种基本方 法 传统立体几何的综合推理法 通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角 然后在直角三角形中求角的大小 找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线 连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影 有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影 此时平面与垂面的交线即为射影 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题相似 底面也是特殊的菱形 一个侧面垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点 用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度 因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好 互动探究 1 正方体ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面ACD1所成角的余 弦值为 解析 因为BB1 DD1 所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等 设DO 平面ACD1 由等体积 所以DO 记DD1与平面ACD1所成角为 答案 D 考点2 面面所成角的计算 图8 7 3 例2 2014年湖南 如图8 7 3 四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 AC BD O A1C1 B1D1 O1 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形 1 证明 O1O 底面ABCD 2 若 CBA 60 求二面角C1 OB1 D的余弦值 1 证明 如图D42 因为四边形ACC1A1为矩形 图D42 所以CC1 AC 同理DD1 BD 因为CC1 DD1 所以CC1 BD 而AC BD O 因此CC1 底面ABCD 由题设知 O1O C1C 故O1O 底面ABCD 2 解 方法一 如图D42 过O1作O1H OB1于H 连接HC1 由 1 知 O1O 底面ABCD 所以O1O 底面A1B1C1D1 于是O1O A1C1 又因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 所以四边形A1B1C1D1是菱形 则A1C1 B1D1 从而A1C1 平面BDD1B1 所以A1C1 OB1 于是OB1 平面O1HC1 则OB1 C1H 故 C1HO1是二面角C1 OB1 D的平面角 不妨设AB 2 方法二 因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 所以四边形ABCD是菱形 因此AC BD 又O1O 底面ABCD 从而OB OC OO1两两垂直 如图D43 以O为坐标原点 OB OC OO1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系Oxyz 不妨设AB 2 图D43 规律方法 求二面角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 定义法 垂面法 三垂线定理法 射影面积法 2 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 分别求出两个平面的法向量 通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小 互动探究 2 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 图D44 考点3 空间距离的计算 例3 如图8 7 4 S是 ABC所在平面外一点 AB BC 2a ABC 120 且SA 平面ABC SA 3a 求点A到平面SBC的距离 图8 7 4 解 方法一 如图8 7 5 作AD BC交BC延长线于点D 连接SD 图8 7 5 SA 平面ABC SA BC 又SA AD A BC 平面SAD 又BC 平面SBC 平面SBC 平面SAD 且平面SBC 平面SAD SD 过点A作AH SD于H 由平面与平面垂直的性质定理 可知 AH 平面SBC 于是AH即为点A到平面SBC的距离 于是h 方法三 如图8 7 6 以A为坐标原点 以AC AS所在直线为y轴 z轴 以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系 图8 7 6 在 ABC中 AB BC 2a ABC 120 互动探究 3 已知空间中三点A 1 0 0 B 2 1 1 C 0 1 2 则 点C到直线AB的距离为 难点突破 空间向量在开放性问题中的应用 例题 2014年湖北 如图8 7 7 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别是棱AB AD A1B1 A1D1的中点 点P Q分别在棱DD1 BB1上移动 且DP BQ 0 2 1 当 1时 证明 直线BC1 平面EFPQ 2 是否存在 使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 图8 7 7 解 方法一 几何法 1 证明 如图8 7 8 连接AD1 由ABCD A1B1C1D1是正 方体 知BC1 AD1 当 1时 P是DD1的中点 且F是AD的中点 图8 7 8 图8 7 9 2 如图8 7 9 连接BD 因为E F分别是AB AD的中点 所以FP AD1 所以BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EFPQ 所以四边形EFPQ是等腰梯形 同理可证四边形PQMN也是等腰梯形 分别取EF PQ MN的中点为H O G 连接OH OG 则GO PQ HO PQ 而GO HO O 故 GOH是面EFPQ与面PQMN所成二面角的平面角 若存在 使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面 角 则 GOH 90 如图8 7 8 连接EM FN 则由EFMN知 四边形EFNM是平行四边形 连接GH 因为H G是EF MN的中点 所以GH ME 2 方法二 向量法 图8 7 10 以D为原点 射线DA DC DD1分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立如图8 7 10所示的空间直角坐标系 由已知 得B 2 2 0 C1 0 2 2 E 2 1 0 F 1 0 0 P 0 0 于是可取n 1 同理得平面MNPQ的一个法向量为m 2 2 1 若存在 使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角 则m n 2 2 1 1 0