高考数学大一轮复习 第二章 第8节 函数与方程课件 理 新人教A版.ppt

第8节函数与方程 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 整合 主干知识 1 函数的零点 质疑探究 当函数y f x 在 a b 内有零点时 是否一定有f a f b 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 1 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 易知f x 2x 3x在R上是增函数 而f 2 2 2 60 f 1 f 0 0 故函数f x 在区间 1 0 上有零点 故选B 答案 B 答案 B 3 给出下列命题 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 其中正确的是 A B C D 解析 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 正确 由已知条件 数形结合可得f x 与x轴在区间 a b 上有且仅有一个交点 故选C 答案 C 4 用二分法求函数f x 3x x 4的一个零点 其参考数据如下 据此数据 可得f x 3x x 4的一个零点的近似值 保留三位有效数字 为 解析 由题意知 函数零点在区间 1 5562 1 5625 内 又零点近似值保留三位有效数字 故零点近似值为1 56 答案 1 56 5 2015 北京朝阳区一模 函数f x 是定义在R上的偶函数 且满足f x 2 f x 当x 0 1 时 f x 2x 若在区间 2 3 上方程ax 2a f x 0恰有四个不相等的实数根 则实数a的取值范围是 解析 由f x 2 f x 知函数f x 是以2为周期的周期函数 又f x 为偶函数 故函数在 2 3 上的图象如图所示 聚集 热点题型 函数零点的个数问题 解析 1 因为f x 为偶函数 所以当x 1 0 时 x 0 1 所以f x x2 即f x x2 y f x k的图象与x轴恰有两个公共点 即y f x 的图象与y k的图象恰有两个公共点 由图知当且仅当 1 k 0时 y f x 的图象与y k的图象恰有两个公共点 故所求k的取值范围是 1 0 答案 1 C 2 1 0 答案 0 名师讲坛 1 判断函数y f x 零点个数的常用方法 1 直接法 令f x 0 则方程实根的个数就是函数零点的个数 2 零点存在性定理法 判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 可确定函数的零点个数 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 画出两个函数的图象 其交点的个数就是函数零点的个数 2 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离得a f x 再转化成求函数f x 值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 再在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 2 由于 f x 0 故必须 k 0 即k 0 显然k 0时两个函数图象只有一个公共点 所以k 0 要使y f x 与y k的图象有三个公共点 如图所示 只要 k 2 即k 2即可 故选D 答案 1 C 2 D 确定函数零点所在的区间 答案 1 D 2 1 2 1 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 2 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 提醒 在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点 在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性 名师讲坛 确定函数f x 的零点所在区间的常用方法 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 解析 1 因为f x 在 0 上为单调增函数 且f 1 ln2 20 所以函数的零点所在的大致区间是 1 2 中间 故选B 答案 1 B 2 B 典例赏析3 1 2015 广州一模 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则下列不等式成立的是 A f a f 1 f b B f a f b f 1 C f 1 f a f b D f b f 1 f a 函数零点与其他问题的综合 解析 1 函数f x g x 均为定义域上的单调递增函数 且f 0 10 g 1 10 所以a 0 1 b 1 e 即a 1 b 所以f a f 1 f b 故选A 答案 1 A 2 D 名师讲坛 函数零点和其他知识相互结合的问题很广泛 但其中的关键还是对函数零点或其范围的确定 在解题中 要善于使用函数零点的存在性定理 数形结合等方法确定函数零点或范围 解析 1 由题意函数f x x2 4x 4 由于函数y f x 函数y lg x 2 的图象均关于直线x 2对称 故四个根之和为 8 故选D 答案 1 D 2 A 备课札记 提升 学科素养 数形结合思想在函数零点问题中的应用 审题视角 作出函数f x 在一个周期 1 3 上的图象 根据周期性拓展函数图象 再作出函数y mx的图象 数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即得 方法点睛 数形结合思想的本质是转化 即把数的问题转化为形的问题直观解决 或者把形的问题转化为数的问题加以解决 如本题就是利用形 函数的图象 直观判断直线y mx的大致位置 建立关于m的不等式 利用代数运算 解不等式 求得m的范围 在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点 方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决 解析 函数g x f x k有两个零点 即f x k 0有两个解 即y f x 与y k的图象有两个交点 分k 0和k1或k 0时 没有交点 故当0 k 1时满足题意 答案 k 0 k 1 1 一个口诀 用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 2 二个防范 函数零点的两个易错点 1 函数的零点不是点 是方程f x 0的实根 2 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点 而不能判断函数的不变号零点 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件 3 三种方法 判断函数零点个数的方法 1 直接求零点 2 零点的存在性定理 3 利用图象交点的个数 内容见例2的 方法规律 4 三个结论 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号