高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第7讲 空间中角与距离的计算课件(理).ppt

第7讲空间中角与距离的计算 1 异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的锐角或直角 叫做异面直线a与b所 0 90 成的角 其范围是 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成 的角等于0 90 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2 直线与平面所成的角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是 直角的二面角叫做 直二面角 4 点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 求点到平面的距离通常运用等积法 即构造一个三棱锥 将点到平面的距离转化为三棱锥的高 5 直线与平面平行 那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 3 二面角 1 若a 1 2 3 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为 平面 的法向量的是 B A 0 1 2 B 3 6 9 C 1 2 3 D 3 6 8 解析 向量 1 2 3 与向量 3 6 9 共线 2 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向 C A 4C 8 B 6D 8 3 已知平面 上的两个向量a 2 3 1 b 5 6 4 则平面 的一个法向量为 A 1 1 1 C 2 1 1 B 2 1 1 D 1 1 1 C 4 如图8 7 1 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 图8 7 1 考点1 线面所成角的计算 例1 2014年福建 在平面四边形ABCD中 AB BD CD 1 AB BD CD BD 将 ABD沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图8 7 2 1 求证 AB CD 2 若M为AD中点 求直线AD与 平面MBC所成角的正弦值 图8 7 2 1 证明 平面ABD 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD AB 平面ABD AB BD AB 平面BCD 又CD 平面BCD AB CD 2 解 如图D55 过点B在平面BCD内作BE BD 图D55 由 1 知 AB 平面BCD BE 平面BCD BD 平面BCD AB BE AB BD 设平面MBC的法向量n x0 y0 z0 规律方法 求直线与平面所成的角 大致有两种基本方 法 传统立体几何的综合推理法 通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角 然后在直角三角形中求角的大小 找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线 连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影 有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影 此时平面与垂面的交线即为射影 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题相似 底面也是特殊的菱形 一个侧面垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点 用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度 因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好 互动探究 1 2011年大纲 如图8 7 3 四棱锥S ABCD中 AB CD BC CD 侧面SAB为等边三角形 AB BC 2 CD SD 1 1 证明 SD 平面SAB 2 求AB与平面SBC所成角的正弦值 图8 7 3 解法一 1 如图D58 取AB中点E 连接DE 则四边形 图D58又SD 1 故ED2 SE2 SD2 所以 DSE为直角 由AB DE AB SE DE SE E 得AB 平面SDE 所以AB SD SD与两条相交直线AB SE都垂直 所以SD 平面SAB 解法二 以C为原点 射线CD为x轴的正半轴 射线CB为y轴正半轴 建立如图D59所示的空间直角坐标系Cxyz 图D59设D 1 0 0 则A 2 2 0 B 0 2 0 又设S x y z 则x 0 y 0 z 0 考点2 面面所成角的计算 图8 7 4 例2 2014年湖南 如图8 7 4 四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 AC BD O A1C1 B1D1 O1 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形 1 证明 O1O 底面ABCD 2 若 CBA 60 求二面角C1 OB1 D的余弦值 1 证明 如图D56 因为四边形ACC1A1为矩形 图D56 所以CC1 AC 同理DD1 BD 因为CC1 DD1 所以CC1 BD 而AC BD O 因此CC1 底面ABCD 由题设知 O1O C1C 故O1O 底面ABCD 2 解 方法一 如图D56 过O1作O1H OB1于H 连接HC1 由 1 知 O1O 底面ABCD 所以O1O 底面A1B1C1D1 于是O1O A1C1 又因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 所以四边形A1B1C1D1是菱形 则A1C1 B1D1 从而A1C1 平面BDD1B1 所以A1C1 OB1 于是OB1 平面O1HC1 则OB1 C1H 故 C1HO1是二面角C1 OB1 D的平面角 不妨设AB 2 方法二 因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等 所以四边形ABCD是菱形 因此AC BD 又O1O 底面ABCD 从而OB OC OO1两两垂直 如图D57 以O为坐标原点 OB OC OO1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系Oxyz 不妨设AB 2 图D57 规律方法 求二面角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 定义法 垂面法 三垂线定理法 射影面积法 2 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 分别求出两个平面的法向量 通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小 互动探究 2 已知点E F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于 图D60 难点突破 利用空间向量求空间距离 例题 如图8 7 5 S是 ABC所在平面外一点 AB BC 2a ABC 120 且SA 平面ABC SA 3a 求点A到平面SBC的距离 图8 7 5 解 方法一 如图8 7 6 作AD BC交BC延长线于D 连接SD 图8 7 6 SA 平面ABC SA BC 又SA AD A BC 平面SAD 又BC 平面SBC 平面SBC 平面SAD 且平面SBC 平面SAD SD 过点A作AH SD于H 由平面与平面垂直的性质定理可知 AH 平面SBC 于是AH即为点A到平面SBC的距离 方法二 设A到平面SBC的距离为h 在 SBC中 方法三 如图8 7 7 以A为坐标原点 以AC AS所在直线为y轴 z轴 以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系 图8 7 7 ABC中 AB BC 2a ABC 120 规律方法 求点到平面的距离通常有以下方法 1 直接法 即直接确定点到平面的垂线 再求出点到垂足的距离 即为所求 2 间接法 包括等体积法和转化法 3 向量法 即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方向上的射影长 此射影长即为所求 点P到平面 的距 1 异面直线所成的角与其方向向量的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 否则向量夹角的补角是异面直线所成的角 2 二面角与法向量的夹角 利用平面的法向量求二面角的大小时 当求出两半平面 的法向量n1 n2时 要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向 从而确定二面角与向量n1 n2的夹角是相等 还是互补