高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件(理).ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性 原点 y轴 2 函数的周期性 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得定义域内的每一个x值 都满足f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 D A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 D 2 2015年广东江门一模 下列函数中 是奇函数的是 A f x 2xC f x sinx 1 B f x log2xD f x sinx tanx C A y轴对称B 直线y x对称C 坐标原点对称D 直线y x对称 则 B A f x 与g x 均为偶函数B f x 为偶函数 g x 为奇函数C f x 与g x 均为奇函数D f x 为奇函数 g x 为偶函数 4 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为R 解析 f x 3 x 3x f x f x 为偶函数 而g x 3 x 3x 3x 3 x g x g x 为奇函数 考点1 判断函数的奇偶性 例1 1 2014年新课标 设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 A f x g x 是偶函数B f x g x 是奇函数C f x g x 是奇函数D f x g x 是奇函数 解析 依题意得对任意x R 都有f x f x g x g x 因此 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 A错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函数 B错 f x g x f x g x f x g x f x g x 是奇函数 C正确 f x g x f x g x f x g x f x g x 是偶函数 D错 答案 C 2 2015年广东 下列函数中 既不是奇函数 也不是偶函 数的是 f 1 f 1 f 1 f 1 所以y x ex既不是奇函数也不是偶函数 依题可知B C D依次是奇函数 偶函数 偶函数 故选A 答案 A 解析 记f x x ex 则f 1 1 e f 1 1 e 1 则 3 2015年北京 下列函数中为偶函数的是 A y x2sinxC y lnx B y x2cosxD y 2 x 解析 根据偶函数的定义f x f x A选项为奇函数 B选项为偶函数 C选项定义域为 0 不具有奇偶性 D选项既不是奇函数 也不是偶函数 故选B 答案 B 4 2014年广东 下列函数为奇函数的是 A y 2x C y 2cosx 1 B y x3sinxD y x2 2x 答案 A 1 2x 5 2013年广东 定义域为R的四个函数y x3 y 2x y x2 1 y 2sinx中 奇函数的个数是 A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 答案 C 6 2012年广东 下列函数为偶函数的是 A y sinxC y ex B y x3D y 答案 D 规律方法 判断函数奇偶性的方法 定义法 第一步先看函数f x 的定义域是否关于原点对称 若不对称 则为非奇非偶函数 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断 即若有f x f x 或f x f x 0 f x f x 1 则f x 为奇函数 若有f x f x 或f x f x 0 f x f x 1 则f x 为偶函数 图象法 利用奇偶函数图象的对称性来判断 分段函数奇偶性的判断常用图象法 复合函数奇偶性的判断 若复合函数由若干个函数复合而成 则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定 概括为 同奇为奇 一偶则偶 抽象函数奇偶性的判断 应充分利用定义 巧妙赋值 通过合理 灵活地变形配凑来判断 考点2 根据函数的奇偶性求参数的值 范围 答案 1 2 2014年湖南 若f x ln e3x 1 ax是偶函数 则a 解析 由题意知 f x 的定义域为R 所以f 1 f 1 从 答案 32 而有ln e3 1 a ln e 3 1 a 解得a 32 x 1 x a x 3 设函数f x 为奇函数 则a 解析 f x 为奇函数 f 1 f 1 a 1 答案 1 规律方法 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值常常用待定系数法 先利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 再利用恒等式的性质列方程求解 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 答案 A 互动探究 2014年新课标 已知偶函数y f x 的图象关于直线x 2 对称 f 3 3 则f 1 3 解析 y f x 的图象关于直线x 2对称 f 1 f 3 3 又 y f x 为偶函数 f 1 f 1 3 易错 易混 易漏 判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题 给出四个函数 2 x y lg2 x y lg 2 x lg 2 x y lg x 2 x 2 y lg x 2 lg x 2 其中奇函数是 偶函数是 正解 的定义域相同 均为 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函数 的定义域为 2 2 且有f x f x 所以为偶函数 的定义域为 2 关于原点不对称 因此该函数为非奇非偶函数 答案 失误与防范 对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致错 对定义域内任意一个x 都有f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具有奇偶性的必要条件 1 在讨论函数的奇偶性时 应首先求函数的定义域 观察其定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数不具备奇偶性 为非奇非偶函数 只有定义域关于原点对称 才有必要利用定义进一步研究其奇偶性 2 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据 为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简 或应用定 f x f x 义的等价形式 f x f x f x f x 0 1 f x 0 来判断 或f x a 3 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之也真 利用这一性质可简化一些函数图象的画法 也可以利用它判断函数的奇偶性 4 分段函数奇偶性判定时 要以整体的观点进行判断 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性 5 函数f x 满足的关系f a x f b x 表明的是函数图象的对称性 函数f x 满足的关系f a x f b x a b 表明的是函数的周期性 在使用这两个关系时不要混淆 关于函数周期性常用的结论 对于函数f x 若有f x a f x 或f x a 1f x a为常数 且a 0 则f x 的一个周期为 1f x 2a