高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第11讲 抽象函数课件 文.ppt

第11讲抽象函数 1 已知f x y f x y 2f x f y 且f x 0 则f x 是 B A 奇函数C 非奇非偶函数 B 偶函数D 不确定 解析 令x y 0 则2f 0 2 f 0 2 因为f x 0 所以f 0 1 令x 0 则f y f y 2f y f y f y f x 为偶函数 故选B 2 函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 A 13 B 2 C C D 3 若f x 是定义在R上的奇函数 它的最小正周期为T 则f 的值为 A 4 已知函数f x 的定义域为 0 并且对任意正数x y都有f xy f x f y 1 f 1 2 若f 8 3 则f 0 考点1 正比例函数型抽象函数 例1 设函数f x 对任意x y R 都有f x y f x f y 且当x 0时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 是奇函数 2 试问当 3 x 3时 f x 是否有最值 如果有 求出最值 如果没有 说出理由 1 证明 令x y 0 则有f 0 2f 0 f 0 0 令y x 则有f 0 f x f x 即f x f x f x 是奇函数 2 解 当 3 x 3时 f x 有最值 理由如下 y f x 在R上为减函数 因此f 3 为函数的最小值 f 3 为函数的最大值 f 3 f 1 f 2 3f 1 6 f 3 f 3 6 函数的最大值为6 最小值为 6 任取x10 f x2 x1 0 f x1 f x2 规律方法 1 利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点 一是注意函数的定义域 二是利用函数的奇偶性去掉函数符号 f 前的 负号 三是利用函数单调性去掉函数符号 f 2 解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f 0 0 f x 是奇函数 f x y f x f y 单调性 3 判断单调性小技巧 设x10 f x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 得到函数单调递减 互动探究 1 已知定义在R上的函数f x 满足f x y f x f y 则 下列判断错误的是 D 解析 f 0 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x f x 2 0 故选D 考点2 对数函数型抽象函数 例2 已知函数f x 的定义域为 x x R 且x 0 对定义域内的任意x1 x2 都有f x1 x2 f x1 f x2 且当x 1时f x 0 f 2 1 1 求证 f x 是偶函数 2 求证 f x 在 0 上是增函数 3 解不等式f 2x2 1 2 1 证明 对定义域内的任意x1 x2都有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x x2 1 则有f x f x f 1 又令x1 x2 1 得2f 1 f 1 再令x1 x2 1 得f 1 0 从而f 1 0 于是有f x f x 所以f x 是偶函数 3 解 由于f 2 1 所以2 f 2 f 2 f 4 于是待解不等式可化为f 2x2 1 f 4 结合 1 2 已证结论 可得上式等价于 2x2 1 4 且2x2 1 0 互动探究 2 对于函数f x 定义域中任意x1 x2 x1 x2 有如下结论 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 当f x lgx时 上述结论中正确的序号是 答案 考点3 指数函数型抽象函数 例3 定义在R上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b R 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的x R 恒有f x 0 3 求证 f x 是R上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 0 1 证明 令a b 0 则f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 证明 当x 0时 x 0 f 0 f x f x 1 f x 1f x 又 当x 0时 f x 1 0 x R时 恒有f x 0 f x2 x1 1 3 证明 设x1 x2 则x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 又 f x1 0 f x2 f x1 f x2 f x1 f x 是R上的增函数 4 解 由f x f 2x x2 1 f 0 1得f 3x x2 f 0 f x 是R上的增函数 3x x2 0 0 x 3 x的取值范围是 x 0 x 3 f 0 1 f x f x y 规律方法 1 解决指数函数型抽象函数的一般步骤为 1f x f x f y 单调性 2 判断单调性小技巧 设x1 x2 x1 x2 0 则f x1 x2 1 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 f x2 得到函数f x 是增函数 互动探究 3 对于函数f x 定义域中任意的x1 x2 x1 x2 有如下结论 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 0 f x1 1x1 0 x1 0 f x1 1 f x1 当f x 2x时 上述结论中正确的序号是 答案 思想与方法 利用转化与化归思想解答抽象函数例题 已知函数y f x 是定义在R上的奇函数 且y f 为偶函数 对于函数y f x 有下列几种描述 y f x 是周期函数 x 是它的一条对称轴 0 是其图象的一个对称中心 其中描述正确的是 只填序号 当x 时 它一定取最大值 解析 已知函数y f x 是定义在R上的奇函数 且y f 为偶函数 不妨设f x sinx 显然错误 显然正 确 而 有可能不正确 因为函数f x sinx也满足条件 而 不成立 答案 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 分别是正比例 对数 指数函数的抽象形式 解题时可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤 但不能用具体函数来代替抽象的解析式