高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件.ppt

6 3等比数列 高考数学 1 等比数列的通项公式如果等比数列 an 的公比为q 那么它的通项公式为 an a1qn 1 2 等比数列的前n项和公式设等比数列 an 的公比为q 其前n项和Sn 3 等比中项如果a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 且 G ab 0 知识清单 4 等比数列的有关性质 1 等比数列 an 满足或时 an 是递增数列 满足或时 an 是递减数列 当q 1时 an 为常数列 当q 0时 an 为摆动数列 且所有奇数项与a1 同号 所有偶数项与a1 异号 2 对于正整数m n p q 若m n p q 则等比数列中am an ap aq的关系为 am an ap aq 3 若 an bn 为等比数列 项数相同 则 an 0 an bn 仍是等比数列 4 当q 0 q 1时 Sn k k qn k 0 是 an 成等比数列的充要条件 这时k 拓展延伸等差数列与等比数列的关系 1 若 an 是正项等比数列 则 logaan a 0且a 1 是以logaa1为首项 logaq为公差的等差数列 q是 an 的公比 2 若 an 是等差数列 则 b 0 是以为首项 bd为公比的等比数列 d是 an 的公差 等比数列的基本运算1 将条件用a1 q表示出来 在表示Sn时要注意判断q能否取1 2 解方程 组 求出a1 q 消元时要注意两式相除和整体代入 消元 3 利用a1 q来求结论 例1各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2 S3n 14 则S4n等于 方法技巧 解析设等比数列 an 的公比为q 由题意得 q 0 S3n 14 3Sn 6 q 1 依题意得所以因此S4n 2 1 24 30 答案30 等比数列的判定与证明1 定义法 若 q q为非零常数 或 q q为非零常数且n 2 n N 则 an 是等比数列 2 等比中项法 若数列 an 中 an 0且 an an 2 n N 则数列 an 是等比数列 3 通项公式法 若数列的通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n N 则 an 是等比数列 4 前n项和公式法 若数列 an 的前n项和Sn k k qn k为常数且k 0 q 0 1 则 an 是等比数列 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法 而后两种方法常用于填空题中的判定 若证明一个数列不是等比数列 只要证明存在相邻三项不成等比数列即可 例2成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为Sn 求证 数列是等比数列 解题导引 1 由已知条件表示出b3 b4 b5求出b1及公比求出bn 2 求出Sn利用定义证明是等比数列 解析 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍去 故b3 5 公比q 2 由b3 b1 22 即5 b1 22 解得b1 所以 bn 是以为首项 2为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 2 证明 数列 bn 的前n项和Sn 5 2n 2 即Sn 5 2n 2 所以S1 2 因此是以为首项 2为公比的等比数列 等差数列与等比数列的综合运用1 在等差数列中蕴含等比关系 由等差数列设出数列的项 突出a1 d 利用等比关系列方程求解 同样 等比数列中蕴含等差关系也如此解决 2 解题时适当利用性质转化条件 可简化运算 3 挖掘隐含条件 发现等差 或等比 关系 使解题目的明确 例3 2017山东文 19 12分 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且a1 a2 6 a1a2 a3 1 求数列 an 的通项公式 2 bn 为各项非零的等差数列 其前n项和为Sn 已知S2n 1 bnbn 1 求数列的前n项和Tn 解析 1 设 an 的公比为q 由题意知 a1 1 q 6 q a1q2 又an 0 解得a1 2 q 2 所以an 2n 2 由题意知 S2n 1 2n 1 bn 1 又S2n 1 bnbn 1 bn 1 0 所以bn 2n 1 令cn 则cn 因此Tn c1 c2 cn 所以Tn 两式相减得Tn 所以Tn 5