高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及应用举例课件文.ppt

第三节平面向量的数量积及应用举例 总纲目录 教材研读 1 平面向量的数量积 考点突破 2 向量的数量积的性质 3 向量的数量积的运算律 考点二平面向量数量积的应用 考点一平面向量数量积的运算 考点三平面向量与三角函数的综合问题 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过O点作 a b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 教材研读 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b R 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若A x1 y1 B x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 1 已知 a 5 b 4 a与b的夹角为120 则a b为 A 10B 10C 10D 10 D 答案Da b a b cos120 5 4 cos120 20 10 故选D 2 已知 a 2 b 6 a b 6 则a与b的夹角 为 A B C D D 答案Dcos 又因为0 所以 故选D 3 设a 5 7 b 6 t 若a b 2 则t的值为 A 4B 4C D A 答案A由a b 2得 5 6 7 t 2 7t 28 所以t 4 故选A 4 在边长为1的等边 ABC中 设 a b c 则a b b c c a A B 0C D 3 答案A依题意有a b b c c a 故选A A 5 2017课标全国 13 5分 已知向量a 2 3 b 3 m 且a b 则m 2 答案2 解析 a b a b 0 又a 2 3 b 3 m 6 3m 0 解得m 2 6 已知平面向量a b的夹角为 a 2 b 1 则 a b 答案 解析 a b 2 a 2 2a b b 2 4 2 a b cos 1 4 2 1 3 a b 典例1 1 设四边形ABCD为平行四边形 6 4 若点M N满足 3 2 则 A 20B 15C 9D 6 2 2017课标全国 12 5分 已知 ABC是边长为2的等边三角形 P为平面ABC内一点 则 的最小值是 A 2B C D 1 考点一平面向量数量积的运算 考点突破 答案 1 C 2 B 解析 1 依题意有 所以 9 故选C 2 以AB所在直线为x轴 AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图 则A 1 0 B 1 0 C 0 设P x y 取BC的中点D 则D 2 2 1 x y 2 2 因此 当x y 时 取得最小值 为2 故选B 方法技巧向量数量积的两种运算方法 1 1 2017陕西西安八校联考 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影是 A 3B C 3D 答案A依题意得 2 1 5 5 2 1 5 5 15 因此向量在方向上的投影是 3 故选A A 1 2已知 ABC是边长为1的等边三角形 点D E分别是边AB BC的中点 连接DE并延长到点F 使得DE 2EF 则 的值为 A B C D B 答案B建立如图所示的平面直角坐标系 考点二平面向量数量积的应用 典例2 1 2018河南郑州质检 已知平面向量a与b的夹角等于 若 a 2 b 3 则 2a 3b A B C 57D 61 2 在平面直角坐标系中 O为原点 A 1 0 B 0 C 3 0 动点D满足 1 则 的最大值是 命题方向一平面向量模的问题 答案 1 B 2 1 解析 1 由题意可得a b a b cos 3 所以 2a 3b 故选B 2 设D x y 由 x 3 y 及 1 知 x 3 2 y2 1 即动点D的轨迹是以点C为圆心的单位圆 又 1 0 0 x y x 1 y 问题转化为圆 x 3 2 y2 1上的点与点P 1 间距离的最大值 圆心C 3 0 与点P 1 之间的距离为 故的最大值为 1 即 的最大值是 1 典例3 1 2016课标全国 3 5分 已知向量 则 ABC A 30 B 45 C 60 D 120 2 已知向量a 1 b 3 m 若向量a b的夹角为 则实数m A 2B C 0D 命题方向二平面向量的夹角问题 答案 1 A 2 B 解析 1 cos ABC 向量间的夹角的取值范围是 0 所以 ABC 30 故选A 2 a 1 b 3 m a 2 b a b 3 m 又a b的夹角为 cos 即 m 解得m 典例4 1 ABC是边长为2的等边三角形 已知向量a b满足 2a 2a b 则下列结论正确的是 A b 1B a bC a b 1D 4a b 2 已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k A B 0C 3D 命题方向三平面向量的垂直问题 答案 1 D 2 C 解析 1 b b 2 故A错 2 2 cos60 2 即 2a b 2 a b 1 故B C都错 4a b 4a b b 4a b b2 4 4 0 4a b 故选D 2 2a 3b 2k 3 6 由 2a 3b c 得 2a 3b c 0 即4k 6 6 0 解得k 3 选C 规律总结平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 2 1 2017课标全国 理 13 5分 已知向量a b的夹角为60 a 2 b 1 则 a 2b 答案2 解析由题意知a b a b cos60 2 1 1 则 a 2b 2 a 2b 2 a 2 4 b 2 4a b 4 4 4 12 所以 a 2b 2 2 2 2017课标全国 13 5分 已知向量a 1 2 b m 1 若向量a b与a垂直 则m 7 答案7 解析 a 1 2 b m 1 a b m 1 3 又 a b a a b a m 1 6 0 解得m 7 2 3若向量a k 3 b 1 4 c 2 1 已知2a 3b与c的夹角为钝角 则k的取值范围是 答案 解析 2a 3b与c的夹角为钝角 2a 3b c 0 即 2k 3 6 2 1 0 4k 6 6 0 k 3 又若 2a 3b c 则2k 3 12 即k 当k 时 2a 3b 12 6 6c 即2a 3b与c反向 综上 k的取值范围为 典例5已知向量a cosx sinx b 3 x 0 1 若a b 求x的值 2 记f x a b 求f x 的最大值和最小值以及对应的x的值 考点三平面向量与三角函数的综合问题 规律总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式 先运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 3 1已知向量m sin 2 cos n sin cos 其中 R 1 若m n 求 2 若 m n 求cos2 的值 解析 1 若m n 则m n 0 即 sin sin 2 cos2 0 即sin 可得 2k 或 2k k Z 2 若 m n 即有 m n 2 2 即 2sin 2 2 2cos 2 2