高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件文.ppt

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 总纲目录 教材研读 1 平面向量的数量积 考点突破 2 向量的数量积的性质 3 向量的数量积的运算律 考点二平面向量数量积的应用 考点一平面向量数量积的运算 4 平面向量的数量积的坐标表示 考点三平面向量与三角函数的综合问题 1 平面向量的数量积 1 向量a与b的夹角 已知两个非零向量a b 过O点作 a b 则 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把数量 a b cos 叫做a和b 教材研读 的数量积 或内积 记作a b a b cos 3 规定0 a 0 4 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 5 a b的几何意义a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b R 3 a b c a c b c 4 平面向量的数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若A x1 y1 B x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 a b为非零向量 则a b x1x2 y1y2 0 1 2016北京海淀二模 已知向量a 1 2 b 2 t 且a b 0 则 b A B 2C 2D 5 答案A a 1 2 b 2 t 且a b 0 2 2t 0 t 1 b 2 1 故 b A 2 2017北京西城二模 设向量a 2 1 b 0 2 则与a 2b垂直的向量可以是 A 3 2 B 3 2 C 4 6 D 4 6 答案A由题意 可知a 2b 2 3 利用两非零向量数量积为0可推出两向量垂直 检验四个选项 只有A符合题意 A 3 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 答案C设a与b的夹角为 2a b b 0 2a b b2 0 2 a b cos b2 0 又 a b 2 a 2cos a 2 0 cos 又 0 180 120 故选C C 4 2018北京西城高三期末 向量a b在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格的边长为1 那么a b 4 2018北京西城高三期末 向量a b在正方形网格中的位置如图所示 如果小正方形网格的边长为1 那么a b 答案4 4 解析以a的起点为坐标原点 a的方向为x轴的正方向 建平面直角坐标系 则a 2 0 b 2 1 a b 4 5 2016北京 9 5分 已知向量a 1 b 1 则a与b夹角的大小为 答案解析 cos a与b夹角的大小为 考点一平面向量数量积的运算 考点突破 典例1 1 2017北京朝阳期中 已知三角形ABC外接圆的半径为1 O为圆心 且 0 2 则 等于 A B C D 2 2017北京丰台一模 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC CD 1 P是AB的中点 则 答案 1 A 2 1 解析 1 三角形ABC外接圆的半径为1 O为圆心 且 0 O为BC的中点 BC为圆O的直径 故 ABC是直角三角形 BAC为直角 OA OC 1 又 2 2 cosC cosC 2 故选A 2 如图 以D为原点 DA所在直线为x轴 DC所在直线为y轴建立平面直角 方法技巧 1 求两个向量的数量积有三种方法 利用定义 利用向量的坐标运算 利用数量积的几何意义 2 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时 可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算 但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 另外 解决此类问题时 可建立坐标系 利用向量的坐标表示求解 1 1 2016北京朝阳期中 在 ABC中 已知 4 3 M N分别是BC边上的三等分点 则 的值是 A 5B C 6D 8 C 答案C如图 设BC的中点为O 连接AO 由 4 3 可得 4 6 故选C 1 2 2016北京石景山一模 如图所示 已知正方形ABCD的边长为1 点E从D点出发 按字母顺序D A B C沿线段DA AB BC运动到C点 在此过程中 的最大值是 A 0B C 1D 1 A 答案A建系如图 则B 0 0 C 1 0 D 1 1 A 0 1 设E x y 0 x 1 0 y 1 x 1 y 1 0 1 y 1 0 y 1 当y 1时 有最大值 为0 典例2 1 已知 a 1 b 2 a与b的夹角为 那么 4a b A 2B 6C 2D 12 2 2015北京西城一模 已知平面向量a b满足a 1 1 a b a b 那么 b 考点二平面向量数量积的应用命题角度一模的问题 答案 1 C 2 解析 1 4a b 2 16a2 b2 8a b 16 1 4 8 1 2 cos 12 4a b 2 2 a b a b a b a b 0 即a2 b2 0 所以 b a 命题角度二垂直问题典例3 2016北京朝阳二模 已知向量a 1 2 向量b 2 m 若a b与a垂直 则实数m的值为 答案 解析 a 1 2 b 2 m a b 3 2 m a b与a垂直 a b a 0 3 2 2 m 0 m 答案 1 A 2 B 3 解析 1 cos ABC 所以 ABC 30 故选A 2 a 1 b 3 m a 2 b a b 3 m 又a b的夹角为 cos 即 m 解得m 3 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 4 则a b 4 2 a 2 b 2 4 设a与b的夹角为 0 cos 方法技巧平面向量数量积求解问题的策略 1 求两向量的夹角 cos 要注意 0 2 两向量垂直的应用 a b a b 0 a b a b 3 求向量的模 利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2 a a a 2或 a a b 若a x y 则 a 2 1 2015北京西城期末 在平面直角坐标系xOy中 点A 1 3 B 2 k 若向量 则实数k A 4B 3C 2D 1 2 1 2015北京西城期末 在平面直角坐标系xOy中 点A 1 3 B 2 k 若向量 则实数k A 4B 3C 2D 1 解析A易知 1 3 3 k 3 0 即1 3 3 k 3 0 解得k 4 故选A A 2 2 2015北京朝阳一模 已知和是平面内的两个单位向量 它们的夹角为60 则2 与的夹角是 A 30 B 60 C 90 D 120 答案C设2 与的夹角为 则cos 因为与是平面内的两个单位向量 所以 1 1 则 2 2 2 2 cos60 2 0 所以cos 0 又0 180 所以 90 故选C C 2 3 2015北京海淀一模 已知单位向量a与向量b 1 1 的夹角为 则 a b 答案1 解析 b 1 1 b 又 a 1 a与b的夹角为 a b 1 1 解析 1 因为b sinx cosx c cosx sinx 所以b c sinx cosx sinx cosx 又a sinx cosx 所以f x a b c sinx sinx cosx cosx sinx cosx 则f x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 则当2k 2x 2k k Z 即k x k k Z时 函数f x 为减函数 所以函数f x 的单调递减区间是 k Z 2 由 1 知f x sin 因为f 所以sin sin 因为sin2 cos2 1 所以cos sin sin sincos cossin 所以当cos 时 sin 当cos 时 sin 方法技巧平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1 题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时 先运用向量共线或垂直或等式成立等 得到三角函数的关系式 然后求解 2 当给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时 其解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等