高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积及应用举例课件(理).ppt

第三节平面向量的数量积及应用举例 知识梳理 1 向量的夹角 AOB 0 180 a b 90 2 平面向量的数量积 a b cos a cos b cos b cos 3 数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e 2 cos 3 a b a cos a b 4 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 5 平面向量数量积的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 特别提醒 1 平面向量数量积的常用结论 1 a与b为两非零向量 则a b a b 0 2 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或者 a 0 a 0 2 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 3 两个注意点 1 a b 0不能推出a 0或b 0 2 a b a c a 0 不能推出b c 小题快练 链接教材练一练1 必修4P107例6改编 设a 1 b 则向量a b的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 解析 选B 由题意 得 a b a b 设向量a与b的夹角为 则cos 因为0 180 所以 60 2 必修4P105例4改编 已知a 1 2 b 3 4 若a kb与a kb互相垂直 则实数k A B 5C D 解析 选D 由已知a 1 2 b 3 4 若a kb与a kb互相垂直 则 a kb a kb 0 即a2 k2b2 0 即5 25k2 0 即k2 所以k 3 2015 山东高考 已知菱形ABCD的边长为a ABC 60 则 感悟考题试一试 解析 选D 由菱形ABCD的边长为a ABC 60 得 BCD 120 ABD 30 在 BCD中 由余弦定理得BD a 所以 4 2014 全国卷 设向量a b满足 a b a b 则a b A 1B 2C 3D 5 解析 选A 因为 a b a b 所以a2 b2 2a b 10 a2 b2 2a b 6 联立方程解得a b 1 故选A 5 2016 武汉模拟 若a b满足 a a a b 1 b 1 则a b的夹角为 解析 因为 a 所以a a b a2 a b 2 a b 1 即a b 1 设a b的夹角为 则cos 因为 0 所以 答案 考向一平面向量数量积的运算 典例1 1 2015 四川高考 设四边形ABCD为平行四边形 若点M N满足则 A 20B 15C 9D 6 2 2016 蚌埠模拟 已知正方形ABCD的边长为1 点E是AB边上的动点 的最大值为 解题导引 1 利用数量积的定义求解 要注意选择基底 进行向量的分解 2 结合已知条件建系 利用坐标求解 规范解答 1 选C 在平行四边形ABCD内 易得 所以 2 如图所示 以AB AD所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设E t 0 0 t 1 则D 0 1 C 1 1 t 1 1 0 所以 t 1 答案 1 一题多解 解答本题 还有以下解法 方法一 选取 作为基底 设0 t 1 则答案 1 方法二 设则 1 cos AED t t 1 答案 1 母题变式 1 在本例题 2 中 试求的取值范围 解析 由本例题 2 的规范解答知 t 1 t 1 1 t 0 1 所以 t t 1 1 t2 t 1 因为t 0 1 所以即的取值范围为 2 本例题 2 中 当E是AB的中点时 试求在上的投影 解析 方法一 如图 过点E作EF DC 垂足为F 由投影的定义知 在上的投影是 方法二 如图 向量与的夹角是 EDC 所以在上的投影是 规律方法 向量数量积的两种计算方法 1 当已知向量的模和夹角 时 可利用定义法求解 即a b a b cos 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 变式训练 2015 全国卷 已知a 1 1 b 1 2 则 2a b a A 1B 0C 1D 2 解析 选C 由题意可得a2 2 a b 3 所以 2a b a 2a2 a b 4 3 1 加固训练 1 2016 长沙模拟 已知向量a 1 2 a b 5 a b 2 则 b 等于 A B 2C 5D 25 解析 选C 由a 1 2 可得a2 a 2 12 22 5 因为 a b 2 所以a2 2a b b2 20 所以5 2 5 b2 20 所以b2 25 所以 b 5 2 已知a 1 2 2a b 3 1 则a b A 2B 3C 4D 5 解析 选D 由已知得a 2a b 2a2 a b 2 a 2 a b 2 5 a b 3 2 故a b 10 5 5 3 已知点A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 解析 选A 2 1 5 5 由定义知在方向上的投影为 4 2016 湛江模拟 已知等边三角形ABC的边长为1 设 a b c 则a b b c c a 解析 如图 得a与b b与c c与a的夹角都是120 又 a b c 1 所以原式 1 1 cos120 1 1 cos120 1 1 cos120 答案 考向二平面向量的夹角及模 考情快递 考题例析 命题方向1 平面向量的夹角 典例2 2015 重庆高考 若非零向量a b满足 a b 且 a b 3a 2b 则a与b的夹角为 本题源自A版必修4P108A组T7 解题导引 根据垂直条件列式求解 注意模的关系的利用 规范解答 选A 设a与b的夹角为 a b 因为 a b 3a 2b 所以 a b 3a 2b 3 a 2 2 b 2 a b解得cos 因为 0 所以 命题方向2 平面向量的垂直问题 典例3 2015 福建高考 设a 1 2 b 1 1 c a kb 若b c 则实数k的值等于 本题源自A版必修4P119A组T12 解题导引 由向量垂直 其数量积为0列方程求解 规范解答 选A c a kb 1 k 2 k 因为b c 所以b c 0 即1 k 2 k 0 k 命题方向3 平面向量的模 典例4 2015 湖南高考 已知点A B C在圆x2 y2 1上运动 且AB BC 若点P的坐标为 2 0 则的最大值为 A B C D 解题导引 根据已知条件知A与C关于原点对称 由此设各点的坐标 建立函数关系求解 规范解答 选B 由题意得 AC为圆的直径 故可设A m n C m n B x y 则x 1 1 所以 x 6 y 而 x 6 2 y2 37 12x 49 所以的最大值为7 一题多解 解答本题 还有以下解法 方法一 数形结合 利用向量加法的几何意义求解 如图 由题意知 AC为圆的直径 即O是AC的中点 所以 当P O B三点共线时取等号 即当B在点 1 0 处时 取得最大值 此时 2 3 4 3 7 即 的最大值为7 方法二 数形结合 利用向量的线性运算及数量积求解 由方法一中的图形可知 所以设向量与的夹角为 因为 2 1 所以 当且仅当 0 即B在点 1 0 处时 成立 所以 的最大值为7 技法感悟 1 平面向量夹角的求法若a b为非零向量 则由平面向量的数量积公式得cos 夹角公式 所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题 2 平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a b 0求解 3 平面向量的模的解题方法 1 若向量a是以坐标形式出现的 求向量a的模可直接利用 a 2 若向量a b是非坐标形式出现的 求向量a的模可应用公式 a 2 a2 a a 或 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 先求向量模的平方 再通过向量数量积的运算求解 题组通关 1 2014 山东高考 已知向量a 1 b 3 m 若向量a b的夹角为 则实数m 解析 选B a b 3 m a b a b cos a b 所以所以m 2 2014 湖南高考 在平面直角坐标系中 O为原点 A 1 0 B 0 C 3 0 动点D满足 1 则 的取值范围是 A 4 6 B C D 解析 选D 方法一 方法二 设D x y 则 x 3 y 所以即 x 3 2 y2 1 因为 1 0 0 x y x 1 y 所以 点D x y 是以M 3 0 为圆心1为半径的圆上的点 式子的几何意义是点D x y 到N 1 的距离 因为 MN 所以即 3 2015 安徽高考 ABC是边长为2的等边三角形 已知向量a b满足 2a 2a b 则下列结论正确的是 A b 1B a bC a b 1D 4a b 解析 选D 因为 2a b 2a b 所以 b 2 故A错误 由于 2a 2a b 4 a 2 2a b 2 2 2 所以2a b 2 4 a 2 2 所以a b 1 故B C错误 又因为 4a b 4a b b 4a b b 2 4 1 2 4 0 所以 4a b 故D正确 4 2015 上海高考 已知平面向量a b c满足a b 且 a b c 1 2 3 则 a b c 的最大值是 解析 分类讨论 因为a b且 a b c 1 2 3 当 c 1时 a b a b c a b c 当 c 2时 a b a b c a b c 当 c 3时 a b a b c a b c 又所以 a b c max 答案 考向三平面向量与三角函数的综合问题 典例5 1 2016 德阳模拟 在 ABC中 cos18 sin18 2cos63 2cos27 则三角形的面积为 2 2015 广东高考 在平面直角坐标系xOy中 已知向量m n sinx cosx x 若m n 求tanx的值 若m与n的夹角为 求x的值 解题导引 1 运用向量的数量积的坐标表示和定义 结合同角公式和诱导公式 两角和的正弦公式 即可得到cosB sinB 再由三角形的面积公式 即可得到所求值 2 根据平面向量数量积的坐标运算列式求解 根据平面向量数量积的定义和坐标运算求解 规范解答 1 选B 由于 cos18 sin18 2cos63 2cos27 则 2cos18 cos63 2sin18 cos27 2 cos18 sin27 sin18 cos27 2sin45 cos B 1 2cosB 2cosB 即有cosB sinB 则三角形ABC的面积S 2 因为m n sinx cosx 且m n 所以m n sinx cosx sinx cosx sin x 0 又x 所以 所以x 0即x 所以tanx tan 1 由 及题意知所以 又x 所以x 所以x 规律方法 求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路 1 求三角函数值 一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式 利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解 2 求角时通常由向量转化为三角函数问题 先求值再求角 3 解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 变式训练 已知a cos sin b cos sin 0 1 若 a b 求证 a b 2 设c 0 1 若a b c 求 的值 解析 1 由题意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因为a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 2 因为a b cos cos sin sin 0 1 所以由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 代入sin sin 1得 sin sin 而 所以 加固训练 1 2016 汕头模拟 若向量a b 且a b 则锐角 的大小是 解析 因为a b 所以 sin cos 0 所以sin2 1 又 为锐角 故 答案 2 2016 汾阳模拟 设a cos sin b cos sin 0 是平面上两个向量 若a b 且tan 则tan 解析 a b cos cos sin sin cos 因为0 所以 0 所以sin tan 所以tan tan 所以tan 答案 3 已知向量a b c 1 其中x R 1 当a b 时 求x的取值集合 2 设函数f x a c 2 求f x 的最小正周期及其单调递增区间 解析 1 因为所以x 2k k Z 即所求x的取值集合为 2 因为所以f x a c 2 5 4sin所以最小正周期为由 得所以单调递增区间是 考向四平面向量在平面几何 解析几何中的应用 典例6 1 2016 合肥模拟 如图 半圆的直径AB 6 O为圆心 C为半圆上不同于A B的任意一点 若P为半径OC上的动点 则的最小值为 A B 9C D 9 2 已知直线x y a与圆x2 y2 2交于A B两点 O是原点 C是圆上一点 若 则a的值为 A 1B C D 2 解题导引 1 根据图形知 O是线段AB的中点 所以 再根据向量的数量积运算分析方向与大小即可求出 2 由A B C均在圆上可得 结合 利用平方法 可得 AOB 120 则圆心O到直线AB的距离d cos60 再由点到直线的距离公式 可得a的方程 解得答案 规范解答 1 选C 因为圆心O是直径AB的中点 所以所以因为与共线且方向相反 所以当大小相等时数量积最小 由条件知当PO PC 时 最小值为 2 选A 因为A B C均为圆x2 y2 2上的点 故因为所以即 即4 4cos AOB 2 故 AOB 120 则圆心O到直线AB的距离即 a 1 即a 1 规律方法 向量与几何综合问题的解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 则有关点与向量就可以用坐标表示 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 变式训练 2016 攀枝花模拟 已知F1 F2分别为双曲线 1的左 右焦点 点P为双曲线右支上一点 O为坐标原点 若向量与的夹角为60 则点F2到直线PF1的距离为 解析 选C 取PF2的中点M 连接OM 如图 则 故 60 则 OMF2 60 因为O为F1F2的中点 所以OM PF1 所以 F1PF2 OMF2 60 在 F1PF2中 设PF1 m PF2 n 因为双曲线的方程为 1 则F1F2 2 所以解得过点F2作F2N PF1于点N 在Rt PF2N中 F2N PF2 sin60 4 加固训练 1 已知圆O x2 y2 4上有三个不同的点P A B 且满足 其中x 0 则实数x的取值范围是 A 0 1 B 1 3 C D 解析 选C 因为所以所以两边平方得 设与的夹角为 则4x2 5 4cos 因为 10 所以 2 如图 在等腰三角形ABC中 底边BC 2 若则 解析 选A D是AC的中点 所以cos ABC 3 2016 安阳模拟 如图在等腰直角 ABC中 点O是斜边BC的中点 过点O的直线分别交直线AB AC于不同的两点M N 若则mn的最大值为 A B 1C 2D 3 解析 选B 以AC AB为x y轴建立直角坐标系 设等腰直角 ABC的腰长为2 则O点坐标为 1 1 B 0 2 C 2 0 因为所以所以 所以直线MN的方程为因为MN过点O 1 1 所以 1 即m n 2 因为m n 2 m 0 n 0 所以mn 所以当且仅当m n 1时取等号 且mn的最大值为1