高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数课件 理.ppt

第二章函数概念与基本初等函数I 2 5指数与指数函数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 分数指数幂 1 规定 正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义是0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的运算性质 asat as t ab t 其中a 0 b 0 s t Q 0 没有意义 as t ast atbt n N 且n 1 a 0 m 知识梳理 1 答案 2 指数函数的图象与性质 R 答案 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 0 0 1 答案 答案 思考辨析 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析函数f x 的图象恒过 1 0 点 只有图象 适合 解析答案 1 2 3 4 5 3 教材改编 已知0 2m 或 n 解析答案 1 2 3 4 5 4 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 解析由y a2 1 x在 上为减函数 得0 a2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 函数y 8 23 x x 0 的值域是 解析 x 0 x 0 3 x 3 0 23 x 23 8 0 8 23 x 8 函数y 8 23 x的值域为 0 8 0 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一指数幂的运算 例1化简 1 解析答案 解析答案 思维升华 思维升华 1 指数幂的运算首先将根式 分数指数幂统一为分数指数幂 以便利用法则计算 还应注意 必须同底数幂相乘 指数才能相加 运算的先后顺序 2 当底数是负数时 先确定符号 再把底数化为正数 3 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 0 跟踪训练1 解析答案 1 解析答案 题型二指数函数的图象及应用 例2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论正确的是 a 1 b1 b 0 00 0 a 1 b 0 解析答案 解析由f x ax b的图象可以观察出 函数f x ax b在定义域上单调递减 所以0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b 0 答案 2 若曲线 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b的取值范围是 解析曲线 y 2x 1与直线y b的图象如图所示 由图象可知 如果 y 2x 1与直线y b没有公共点 则b应满足的条件是b 1 1 1 1 解析答案 思维升华 思维升华 1 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点 判断所给的图象是否过这些点 若不满足则排除 2 对于有关指数型函数的图象问题 一般是从最基本的指数函数的图象入手 通过平移 伸缩 对称变换而得到 特别地 当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 3 有关指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应的指数型函数图象 数形结合求解 1 如图 面积为8的平行四边形OABC 对角线AC CO AC与BO交于点E 某指数函数y ax a 0 且a 1 经过点E B 则a 解析设点E t at 则点B坐标为 2t 2at 因为2at a2t 所以at 2 因为平行四边形OABC的面积 OC AC at 2t 4t 又平行四边形OABC的面积为8 所以4t 8 t 2 跟踪训练2 解析答案 2 已知函数f x 2x 1 af c f b 则下列结论中 一定成立的是 a0 2 a 2c 2a 2c 2 解析答案 解析作出函数f x 2x 1 的图象 如图 af c f b 结合图象知00 0 2a 1 f a 2a 1 1 2a 1 f c 1 0 c 1 1 2c 2 解析答案 f c 2c 1 2c 1 又 f a f c 1 2a 2c 1 2a 2c 2 答案 题型三指数函数的图象和性质 命题点1比较指数式的大小 例3 1 下列各式比较大小正确的是 1 72 5 1 73 0 6 1 0 62 0 8 0 1 1 250 2 1 70 3 0 93 1 解析答案 解析 中 函数y 1 7x在R上是增函数 2 50 62 正确 中 0 8 1 1 25 问题转化为比较1 250 1与1 250 2的大小 y 1 25x在R上是增函数 0 11 00 93 1 正确 答案 a c 故a c b a c b 2 设则a b c的大小关系是 解析答案 命题点2解简单的指数方程或不等式 解析答案 所以a 3 此时 3 a 0 所以0 a 1 故a的取值范围是 3 1 答案 3 1 命题点3和指数函数有关的复合函数的性质 例5设函数f x kax a x a 0且a 1 是定义域为R的奇函数 1 若f 1 0 试求不等式f x2 2x f x 4 0的解集 解析答案 因为f x axlna a xlna ax a x lna 0 所以f x 在R上为增函数 原不等式可化为f x2 2x f 4 x 所以x2 2x 4 x 即x2 3x 4 0 所以x 1或x1或x 4 解因为f x 是定义域为R的奇函数 所以f 0 0 所以k 1 0 即k 1 f x ax a x 又a 0且a 1 所以a 1 解析答案 思维升华 所以g x 22x 2 2x 4 2x 2 x 2x 2 x 2 4 2x 2 x 2 令t x 2x 2 x x 1 解析答案 则t x 在 1 为增函数 由 1 可知 思维升华 所以原函数为 t t2 4t 2 t 2 2 2 思维升华 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略 1 比较大小问题 常利用指数函数的单调性及中间值 0或1 法 2 简单的指数方程或不等式的求解问题 解决此类问题应利用指数函数的单调性 要特别注意底数a的取值范围 并在必要时进行分类讨论 3 解决指数函数的综合问题时 要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 如奇偶性 周期性 相结合 同时要特别注意底数不确定时 对底数的分类讨论 1 已知函数f x 2 2x m m为常数 若f x 在区间 2 上是增函数 则m的取值范围是 解析令t 2x m 而y 2t为R上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上单调递增 所以m的取值范围是 4 4 跟踪训练3 解析答案 解析答案 2 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则a的值为 返回 解析令ax t 则y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 当a 1时 因为x 1 1 所以ymax a 1 2 2 14 解得a 3 负值舍去 当0 a 1时 因为x 1 1 解析答案 返回 思想与方法系列 思想与方法系列 4 换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 思维点拨 解析答案 当t 8时 ymax 57 解析因为x 3 2 思维点拨根据复合函数的单调性 同增异减 进行探求 解析设u x2 2x 1 又u x2 2x 1的增区间为 1 f x 的减区间为 1 1 2 函数的单调减区间为 函数的减区间即为函数u x2 2x 1的增区间 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时 要熟练掌握指数函数的单调性 搞清复合函数的结构 利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题 2 换元过程中要注意 元 的取值范围的变化 思想方法感悟提高 1 通过指数函数图象比较底数大小的问题 可以先通过令x 1得到底数的值 再进行比较 2 指数函数y ax a 0 a 1 的性质和a的取值有关 一定要分清a 1与0 a 1 3 对与复合函数有关的问题 要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 方法与技巧 1 恒成立问题一般与函数最值有关 要与方程有解区别开来 2 复合函数的问题 一定要注意函数的定义域 3 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 形式的方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 函数f x ax 2 1 a 0且a 1 的图象经过定点的坐标为 解析 a0 1 f 2 2 故f x 的图象必过点 2 2 2 2 解析答案 a b c a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由于y 2x 4 在 2 上递减 在 2 上递增 所以f x 在 2 上递增 在 2 上递减 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若关于x的方程 ax 1 2a a 0且a 1 有两个不等实根 则a的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 当a 1时 如图 2 而y 2a 1不符合要求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析方程 ax 1 2a a 0且a 1 有两个实数根转化为函数y ax 1 与y 2a有两个交点 当0 a 1时 如图 1 0 2a 1 解析原式 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由函数y ax b b 0 的图象经过点P 1 3 得a b 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知正数a满足a2 2a 3 0 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 a2 2a 3 0 a 3或a 1 舍 函数f x 3x在R上递增 由f m f n 得m n m n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以g x g 0 0 所以g x g 0 0 所以函数g x 的最小值是0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 2 若f x 有最大值3 求a的值 由于f x 有最大值3 所以g x 应有最小值 1 即当f x 有最大值3时 a的值为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函数f x ex e x x R 且e为自然对数的底数 1 判断函数f x 的单调性与奇偶性 f x 0对任意x R都成立 f x 在R上是增函数 f x 的定义域为R 且f x e x ex f x f x 是奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 是否存在实数t 使不等式f x t f x2 t2 0对一切x R都成立 若存在 求出t 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解存在 由 1 知f x 在R上是增函数和奇函数 则f x t f x2 t2 0对一切x R都成立 f x2 t2 f t x 对一切x R都成立 x2 t2 t x对一切x R都成立 11 函数f x a x 1 a 0 a 1 的值域为 1 则f 4 与f 1 的大小关系是 解析由题意知a 1 f 4 a3 f 1 a2 由单调性知a3 a2 f 4 f 1 f 4 f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故 可能成立 不可能成立 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意 得x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 当x 1 时 不等式 m2 m 4x 2x 0恒成立 则实数m的取值范围是 1 2 解得 1 m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求函数f x 在 1 1 上的解析式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 f x 是x R上的奇函数 f 0 0 设x 1 0 则 x 0 1 2 判断f x 在 0 1 上的单调性 0 x1 x2 1 解设0 x1 x2 1 f x1 f x2 0 f x 在 0 1 上为减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 当 取何值时 方程f x 在 1 1 上有实数解 解 f x 在 0 1 上为减函数 或 0时 方程f x 在x 1 1 上有实数解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回