高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 二次函数与幂函数课件 文.ppt

第二章函数概念与基本初等函数I 2 4二次函数与幂函数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x 2 二次函数的图象和性质 ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 知识梳理 1 答案 答案 2 幂函数 1 定义 形如的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 2 幂函数的图象比较 y x 答案 3 幂函数的性质 幂函数在 0 上都有定义 幂函数的图象过定点 1 1 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 和 0 0 且在 0 上单调递增 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 且在 0 上单调递减 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x R 不可能是偶函数 3 在y ax2 bx c a 0 中 a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 4 函数是幂函数 5 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 答案 思考辨析 即m2 1 解得m1 1 1 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知函数f x ax2 x 5的图象在x轴上方 则a的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 3 函数的图象是 填序号 解析显然f x f x 说明函数是奇函数 同时由当0 x 1时 当x 1时 故只有 符合 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 解析如图 由图象可知m的取值范围是 1 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 0 答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一求二次函数的解析式 例1已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数的解析式 解析答案 思维升华 解方法一 利用一般式 设f x ax2 bx c a 0 所求二次函数为f x 4x2 4x 7 解析答案 思维升华 方法二 利用顶点式 设f x a x m 2 n f 2 f 1 n 8 解析答案 f 2 1 思维升华 方法三 利用零点式 由已知f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 解得a 4 所求函数的解析式为f x 4x2 4x 7 思维升华 思维升华 求二次函数的解析式 关键是灵活选取二次函数解析式的形式 所用所给出的条件 根据二次函数的性质进行求解 1 二次函数的图象过点 0 1 对称轴为x 2 最小值为 1 则它的解析式是 解析依题意可设f x a x 2 2 1 又其图象过点 0 1 4a 1 1 跟踪训练1 解析答案 2 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 解析由f x 是偶函数知f x 图象关于y轴对称 b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 2x2 4 解析答案 题型二二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的单调性 例2已知函数f x x2 2ax 3 x 4 6 1 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 4 6 上是单调函数 要使f x 在 4 6 上为单调函数 只需 a 4或 a 6 解得a 4或a 6 故a的取值范围是 6 4 解析答案 2 当a 1时 求f x 的单调区间 其图象如图所示 又 x 4 6 f x 在区间 4 1 和 0 1 上为减函数 在区间 1 0 和 1 6 上为增函数 解析答案 命题点2二次函数的最值 例3已知函数f x x2 2x 若x 2 3 则函数f x 的最大值为 解析f x x 1 2 1 2 x 3 如图 f x max f 2 8 8 解析答案 已知函数f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 引申探究 解析答案 解 函数y x2 2x x 1 2 1 对称轴为直线x 1 x 1不一定在区间 2 a 内 应进行讨论 当 21时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 y取得最小值 即ymin 1 综上 当 21时 ymin 1 命题点3二次函数中的恒成立问题 例4 1 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 解析答案 2 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 解析2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 适合 解析答案 思维升华 思维升华 1 二次函数最值问题解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 1 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 2 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 若二次函数f x ax2 bx c a 0 满足f x 2 f x 16x且f 0 2 1 求函数f x 的解析式 解由f 0 2 得c 2 所以f x ax2 bx 2 a 0 f x 2 f x a x 2 2 b x 2 2 ax2 bx 2 4ax 4a 2b 因为f x 2 f x 16x 所以4ax 4a 2b 16x 解得a 4 b 8 所以f x 4x2 8x 2 跟踪训练2 解析答案 2 若存在x 1 2 使不等式f x 2x m成立 求实数m的取值范围 解由f x 2x m 可得m f x 2x 4x2 10 x 2 设g x 4x2 10 x 2 x 1 2 则g x max g 2 2 m 2 故实数m的取值范围是 2 解析答案 题型三幂函数的图象和性质 解析由幂函数的定义知k 1 解析答案 2 若则实数m的取值范围是 解析答案 思维升华 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 解析因为函数的定义域为 0 且在定义域内为增函数 思维升华 思维升华 1 幂函数的形式是y x R 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 1 已知幂函数f x 的图象经过 9 3 则f 2 f 1 解析设幂函数为f x x 则f 9 9 3 即32 3 所以2 1 即f x 跟踪训练3 解析答案 2 若则实数a的取值范围是 解析易知函数的定义域为 0 在定义域内为增函数 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 思维点拨参数a的值确定f x 图象的形状 a 0时 函数f x 的图象为抛物线 还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系 思想与方法系列 3 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 规范解答解 1 当a 0时 f x 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 2 3分 解析答案 温馨提醒 2 当a 0时 f x ax2 2x图象的开口方向向上 f x 在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 10分 解析答案 温馨提醒 3 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 f x ax2 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 13分 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 本题在求二次函数最值时 用到了分类讨论思想 求解中既对系数a的符号进行讨论 又对对称轴进行讨论 在分类讨论时要遵循分类的原则 一是分类的标准要一致 二是分类时要做到不重不漏 三是能不分类的要尽量避免分类 绝不无原则的分类讨论 2 在有关二次函数最值的求解中 若轴定区间动 仍应对区间进行分类讨论 思想方法感悟提高 1 二次函数的三种形式 1 已知三个点的坐标时 宜用一般式 2 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关的量时 常使用顶点式 3 已知二次函数与x轴有两个交点 且横坐标已知时 选用零点式求f x 更方便 2 研究二次函数的性质要注意 1 结合图象分析 2 含参数的二次函数 要进行分类讨论 方法与技巧 3 利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时 必须结合幂值的特点 转化为同指数幂 再选择适当的函数 借助其单调性进行比较 方法与技巧 1 对于函数y ax2 bx c 要认为它是二次函数 就必须满足a 0 当题目条件中未说明a 0时 就要讨论a 0和a 0两种情况 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 如果函数f x x2 ax 3在区间 4 上单调递减 则实数a的范围是 8 解析答案 2 函数f x m2 m 1 xm是幂函数 且在x 0 上为增函数 则实数m的值是 解析f x m2 m 1 xm是幂函数 m2 m 1 1 m 1或m 2 又在x 0 上是增函数 所以m 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 设函数f x x2 x a a 0 且f m 0 则f m 1 0 判断大小关系 f x 的大致图象如图所示 由f m 0 f m 1 f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 若函数f x x2 ax a在区间 0 2 上的最大值为1 则实数a 解析 函数f x x2 ax a的图象为开口向上的抛物线 函数的最大值在区间的端点取得 f 0 a f 2 4 3a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 幂函数y x 1 y xm与y xn在第一象限内的图象如图所示 则m与n的取值范围分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析可作直线x 2 观察直线x 2和各图象交点的纵坐标可知2 1 2n 20 2m 21 1 n 0 m 1 答案 1 n 0 0 m 1 6 已知函数f x x2 2x g x ax 2 a 0 若 x1 1 2 x2 1 2 使得f x1 g x2 则实数a的取值范围是 解析由函数f x x2 2x x 1 2 1 当x 1 2 时 f x min f 1 1 f x max f 1 3 即函数f x 的值域为 1 3 当x 1 2 时 函数g x min g 1 a 2 g x max g 2 2a 2 3 解得a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 当0g x f x h x g x f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 已知函数f x x2 2ax 2a 4的定义域为R 值域为 1 则a的值为 解析由于函数f x 的值域为 1 所以f x min 1 又f x x a 2 a2 2a 4 当x R时 f x min f a a2 2a 4 1 即a2 2a 3 0 解得a 3或a 1 1或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知函数f x ax2 bx 1 a b为实数 a 0 x R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 若函数f x 的图象过点 2 1 且方程f x 0有且只有一个根 求f x 的表达式 解因为f 2 1 即4a 2b 1 1 所以b 2a 因为方程f x 0有且只有一个根 所以 b2 4a 0 所以4a2 4a 0 所以a 1 所以b 2 所以f x x2 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在 1 的条件下 当x 1 2 时 g x f x kx是单调函数 求实数k的取值范围 所以所求实数k的取值范围为 0 6 由g x 的图象知 要满足题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知函数f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时 f x 0恒成立 求a的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解要使f x 0恒成立 则函数在区间 2 2 上的最小值不小于0 设f x 的最小值为g a 故此时a不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 得a 7 又a 4 故 7 a 4 综上得 7 a 2 又 4 a 4 故 4 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 已知函数f x x2 m是定义在区间 3 m m2 m 上的奇函数 则f m 解析由已知 必有m2 m 3 m 即m2 2m 3 0 m 3或m 1 当m 3时 函数即f x x 1 x 6 6 f x 在x 0处无意义 故舍去 当m 1时 函数即f x x3 此时x 2 2 符合题意 f m f 1 f 1 3 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 已知幂函数f x x 当x 1时 恒有f x 1时 恒有f x 1时 函数f x x 的图象在y x的图象的下方 作出幂函数f x x 在第一象限的图象 由图象可知 1时满足题意 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 则f x 的最小值为1 因此a 1 如果a 1 则a f x b的解集由两个区域构成 于是有f a f b b 而函数y f x 图象的对称轴为x 2 故b 4 则f a 4 解得a 0 a 4舍去 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 设0 不等式8x2 8sin x cos2 0对x R恒成立 则 的取值范围为 解析由8x2 8sin x cos2 0对x R恒成立 得 8sin 2 4 8cos2 0 15 已知函数f x ax2 bx c a 0 b R c R 1 若函数f x 的最小值是f 1 0 且c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 F 2 F 2 2 1 2 2 1 2 8 解得a 1 b 2 f x x 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若a 1 c 0 且 f x 1在区间 0 1 上恒成立 试求b的取值范围 解f x x2 bx 原命题等价于 1 x2 bx 1在 0 1 上恒成立 2 b 0 故b的取值范围是 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解析答案