高考数学一轮复习 第三章 专题研究 导数的综合运用课件 理.ppt

专题研究导数的综合运用 题型一导数与函数图像 答案 A 探究1给定解析式求函数的图像是近几年高考重点 并且难度在增大 多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势 利用导数求极值 最值 研究零点 2015 杭州质检 设函数f x x2sinx 则函数f x 的图像可能为 思考题1 解析 因为f x x 2sin x x2sinx f x 所以f x 是奇函数 又因为f x 2xsinx x2cosx 所以f 0 0 排除A 且当x 0 时 函数值为正实数 排除B 当x 2 时 函数值为负实数 排除D 故选C 答案 C 例2 2015 沧州七校联考 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路 1 令f x 0 求极值点 然后讨论在各个区间上的单调性 2 构造函数g x ex x2 2ax 1 x R 注意到g 0 0 只需证明g x 在 0 上是增函数 可利用导数求解 题型二导数与不等式 解析 1 由f x ex 2x 2a x R 得f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 设g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知当a ln2 1时 g x 最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 又g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 答案 1 单调递减区间为 ln2 单调递增区间为 ln2 极小值2 1 ln2 a 2 略 探究2利用导数工具 证明不等式的关键在于要构造好函数的形式 转化为研究函数的最值或值域问题 有时需用到放缩技巧 求证不等式f x g x 一种常见思路是用图像法来说明函数f x 的图像在函数g x 图像的上方 但通常不易说明 于是通常构造函数F x f x g x 通过导数研究函数F x 的性质 进而证明欲证不等式 思考题2 答案 1 a 1 b 2 2 略 题型三导数与方程 探究3讨论方程根的个数或函数的零点 关键根据题意 画出函数图像的走势规律 标明函数极 最 值的位置 通过数形结合的思想去分析解决 思考题3 例4 2015 江苏连云港二调 一个圆柱形圆木的底面半径为1m 长为10m 将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分 现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁 长度保持不变 底面为等腰梯形ABCD 如图所示 其中O为圆心 C D在半圆上 设 BOC 木梁的体积为V 单位 m3 表面积为S 单位 m2 题型四导数与最优化问题 1 求V关于 的函数表达式 2 求 的值 使体积V最大 3 问当木梁的体积V最大时 其表面积S是否也最大 请说明理由 探究4生活中求利润最大 用料最省 效率最高等问题称之为优化问题 导数是解决生活中优化问题的有力工具 用导数解决优化问题的基本思路是 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 思考题4