高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第8讲 函数与方程课件 理 新人教A版.ppt

第8讲函数与方程 考试要求函数的零点与方程根的联系 一元二次方程根的存在性及根的个数的判断 B级要求 知识梳理 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x D 把使的实数x叫做函数y f x x D 的零点 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 f x 0 x轴 零点 3 零点存在性定理 如果函数y f x 满足 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 则函数y f x 在 a b 上存在零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac0时 函数y 2x与y x2的图象有两个交点 2 2015 安徽卷改编 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 y cosx y sinx y lnx y x2 1 解析由于y sinx是奇函数 y lnx是非奇非偶函数 y x2 1是偶函数但没有零点 只有y cosx是偶函数又有零点 答案 答案 1 答案3 5 2014 湖北卷改编 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点的集合为 解析当x 0时 f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 得x1 3 x2 1 当x0 f x x 2 3 x f x x2 3x f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 得x3 2 x4 2 0 舍 函数g x f x x 3的零点的集合是 2 1 3 答案 2 1 3 考点一函数零点的判断与求解 由图象可知 f x g x 1的实根个数为4 答案 1 1 2 4 规律方法函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图象与性质确定函数零点个数 3 利用图象交点个数 作出两函数图象 观察其交点个数即得零点个数 答案0 考点二根据函数零点存在情况 求参数的取值范围 规律方法已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 解析当x 0 1 时 f x 6x2 6x 0 则f x 2x3 3x2 m在 0 1 单调递增 又函数f x 的图象与x轴有且仅有两个不同的交点 所以在区间 0 1 和 1 上分别有一个交点 则f 1 m0 解得 5 m 0 答案 5 0 考点三二次函数的零点问题 例3 已知函数f x x2 ax 2 a R 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 规律方法解决与二次函数有关的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图象列不等式组 训练3 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 法二函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 得a2 a 2 0 2 a 1 故实数a的取值范围是 2 1 思想方法 1 判定函数零点的常用方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 3 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究G x f x g x 的零点 3 转化思想 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 易错防范 1 函数f x 的零点是一个实数 是方程f x 0的根 也是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 2 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件 而不是必要条件 判断零点个数还要根据函数的单调性 对称性或结合函数图象